Представление Matroid - Matroid representation

В математической теории матроиды, а представление матроидов это семья векторов чей линейная независимость отношение такое же, как у данного матроида. Представления Matroid аналогичны групповые представления; оба типа представления предоставляют абстрактные алгебраические структуры (матроиды и группы соответственно) с конкретными описаниями в терминах линейная алгебра.

А линейный матроид матроид, имеющий представление, а F-линейный матроид (для поле F) - это матроид, который имеет представление с помощью векторное пространство над F. Теория представлений матроидов изучает существование представлений и свойства линейных матроидов.

Определения

A (конечный) матроид ${ displaystyle (E, { mathcal {I}})}$ определяется конечный набор ${ displaystyle E}$ (элементы матроида) и непустой семья ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ из подмножеств ${ displaystyle E}$, называемые независимыми множествами матроида. Требуется удовлетворить свойства, заключающиеся в том, что каждое подмножество независимого набора само по себе является независимым, и что если один независимый набор ${ displaystyle A}$ больше, чем второй независимый набор ${ displaystyle B}$ тогда существует элемент ${ displaystyle x in A setminus B}$ что можно добавить к ${ displaystyle B}$ чтобы сформировать более крупный независимый набор. Одним из ключевых мотивирующих примеров при разработке матроидов была идея линейная независимость векторов в векторное пространство: если ${ displaystyle E}$ конечное множество или мультимножество векторов, и ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ семейство линейно независимых подмножеств ${ displaystyle E}$, тогда ${ displaystyle (E, { mathcal {I}})}$ это матроид.^[1][2]

В более общем смысле, если ${ displaystyle (E, { mathcal {I}})}$ любой матроид, то представление ${ displaystyle (E, { mathcal {I}})}$ можно определить как функцию ${ displaystyle f}$ что отображает ${ displaystyle E}$ в векторное пространство ${ displaystyle V}$, со свойством, что подмножество ${ displaystyle A}$ из ${ displaystyle E}$ является независимым тогда и только тогда, когда ${ displaystyle f (A)}$ линейно независима. Матроид с представлением называется линейным матроидом, и если ${ displaystyle V}$ векторное пространство над полем F тогда матроид называется F-линейный матроид. Таким образом, линейные матроиды - это именно те матроиды, которые изоморфный к матроидам, определенным из множеств или мультимножеств векторов. Функция ${ displaystyle f}$ будет один к одному тогда и только тогда, когда лежащий в основе матроид простой (не имеющий двухэлементных зависимых наборов). Представления Matroid также можно описать более конкретно, используя матрицы над полем F, с одним столбцом на элемент матроида и с набором независимых элементов в матроиде тогда и только тогда, когда соответствующий набор столбцов матрицы линейно независим. В функция ранга линейного матроида задается ранг матрицы подматриц этой матрицы, или эквивалентно измерение из линейный пролет подмножеств векторов.^[3]

Характеристика линейных матроидов

В Вамос матроид, не линейная ни по какому полю

В Конфигурация Perles, линейный по действительным числам, но не по рациональным числам

Не каждый матроид линейен; восьмиэлементный Вамос матроид - один из самых маленьких матроидов, который непредставим на всех полях.^[4] Если матроид является линейным, он может быть представлен в некоторых, но не во всех полях. Например, матроид с девятью элементами третьего ранга, определяемый Конфигурация Perles представима над действительные числа но не за рациональное число.

Бинарные матроиды матроиды, которые могут быть представлены на конечное поле GF (2); это как раз те матроиды, у которых нет униформа матроид ${ displaystyle U {} _ {4} ^ {2}}$ как незначительный.^[5] Унимодулярный или обычные матроиды матроиды, которые могут быть представлены во всех полях;^[6] их можно охарактеризовать как матроидов, не имеющих ${ displaystyle U {} _ {4} ^ {2}}$, то Самолет Фано (двоичный матроид с семью элементами), или двойной матроид самолета Фано в несовершеннолетнем возрасте.^[5][7] В качестве альтернативы матроид является правильным тогда и только тогда, когда он может быть представлен полностью унимодулярная матрица.^[8]

Гипотеза Роты утверждает, что для каждого конечного поля F, то F-линейные матроиды могут быть охарактеризованы конечным набором запрещенных миноров, аналогичных характеристикам, описанным выше для бинарных и обычных матроидов.^[9] По состоянию на 2012 год это было доказано только для полей из четырех или менее элементов.^{[5][10][11][12]} Для бесконечных полей (таких как поле действительные числа ) такая характеристика невозможна.^[13]

Поле определения

Для каждого поле алгебраических чисел и каждый конечное поле F есть матроид M для которого F минимальное подполе его алгебраического замыкания, над которым M можно представить: M можно отнести к 3 рангу.^[14]

Набор характеристик

В набор характеристик линейного матроида определяется как множество характеристики полей, над которыми она линейна.^[15] Для каждого простое число п существует бесконечно много матроидов, характеристическим множеством которых является одноэлементное множество {п},^[16] и для каждого конечный набор простых чисел существует матроид, характеристическим множеством которого является заданное конечное множество.^[17]

Если характеристический набор матроида бесконечен, он содержит ноль; и если он содержит ноль, то он содержит все, кроме конечного числа простых чисел.^[18] Следовательно, единственно возможные характеристические множества - это конечные множества, не содержащие нуля, и кофинитные множества, содержащие ноль.^[19] Действительно, все такие множества встречаются.^[20]

Родственные классы матроидов

А униформа матроид ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ имеет ${ displaystyle n}$ элементов, а его независимые множества состоят из всех подмножеств до ${ displaystyle r}$ элементов. Однородные матроиды могут быть представлены наборами векторов в общая позиция в ${ displaystyle r}$-мерное векторное пространство. Поле представления должно быть достаточно большим, чтобы там существовать ${ displaystyle n}$ векторов общего положения в этом векторном пространстве, поэтому однородные матроиды F-линейный для всех полей, кроме конечного числа F.^[21] То же верно и для матроиды разделов, прямые суммы однородных матроидов, как прямую сумму любых двух F-линейный матроид - это сам F-линейный.

А графический матроид - матроид, определяемый по краям неориентированный граф путем определения набора ребер независимым тогда и только тогда, когда он не содержит цикл. Каждый графический матроид является обычным, поэтому F-линейный для каждого поля F.^[8]

В матроиды жесткости Опишите степени свободы механических связей, образованных жесткими стержнями, соединенными на концах гибкими шарнирами. Связь этого типа может быть описана как граф с ребром для каждого стержня и вершиной для каждого шарнира, а для одномерных связей матроиды жесткости являются в точности графическими матроидами. Матроиды жесткости более высокой размерности могут быть определены с использованием матриц действительные числа со структурой, аналогичной структуре матрица инцидентности нижележащего графа и, следовательно, являются ${ Displaystyle mathbb {R}}$-линейный.^[22][23]

Подобно однородным матроидам и матроидам разбиения, гаммоиды, матроиды, представляющие достижимость в ориентированные графы, линейны над любым достаточно большим полем. В частности, гаммоид с ${ displaystyle n}$ элементы могут быть представлены в каждом поле, которое имеет не менее ${ Displaystyle 2 ^ {п}}$ элементы.^[24]

В алгебраические матроиды матроиды, определенные из наборов элементов расширение поля используя понятие алгебраическая независимость. Каждый линейный матроид является алгебраическим, и для полей с нулевой характеристикой (например, действительных чисел) линейные и алгебраические матроиды совпадают, но для других полей могут существовать нелинейные алгебраические матроиды.^[25]

Рекомендации