Конфигурация Perles - Perles configuration

Конфигурация Perles

В геометрии Конфигурация Perles представляет собой конфигурацию из 9 точек и 9 линий, которая может быть реализована в Евклидова плоскость но для каждой реализации есть хотя бы один иррациональный номер как одна из его координат. Это не проективная конфигурация однако, потому что его точки и линии не все имеют одинаковое количество инцидентов друг с другом. Он был представлен Миха Перлес в 1960-е гг.

Конструкция из правильного пятиугольника

Один из способов создания конфигурации Perles - начать с обычного пятиугольник и его пять диагоналей, которые образуют стороны меньшего правильного пятиугольника внутри начального. Девять точек конфигурации состоят из четырех из пяти вершин каждого пятиугольника и общего центра двух пятиугольников; две недостающие вершины пятиугольника выбраны так, чтобы они были коллинеарны центру. Девять линий конфигурации состоят из пяти линий, которые являются диагоналями внешнего пятиугольника и сторонами внутреннего пятиугольника, и четырех линий, которые проходят через центр и через соответствующие пары вершин двух пятиугольников.

Проективная инвариантность

Каждая реализация этой конфигурации в реальном проективная плоскость эквивалентно, при проективное преобразование, к реализации, построенной таким образом из правильного пятиугольника. Следовательно, в каждой реализации есть четыре точки, имеющие одинаковые перекрестное соотношение как перекрестное отношение четырех коллинеарных точек в реализации, полученной из правильного пятиугольника. Но эти четыре точки имеют ${ displaystyle 1+ varphi}$ как их кросс-отношение, где ${ displaystyle varphi}$ это Золотое сечение, иррациональное число. Каждые четыре коллинеарных точки с рациональными координатами имеют рациональное поперечное отношение, поэтому конфигурация Перлеса не может быть реализована с помощью рациональных точек. Бранко Грюнбаум предположил, что каждая конфигурация, которая может быть реализована с помощью иррациональных, но не рациональных чисел, имеет не менее девяти точек; в таком случае конфигурация Перлеса будет наименьшей возможной иррациональной конфигурацией точек и линий.^[1]

Применение в многогранной комбинаторике

Перлес использовал свою конфигурацию для построения восьмимерного выпуклый многогранник с двенадцатью вершинами, которые аналогичным образом могут быть реализованы с реальными координатами, но не с рациональными координатами. Точки конфигурации, три из которых удвоены и со знаками, связанными с каждой точкой, образуют Диаграмма Гейла из Многогранник Перла. Эрнст Стейниц доказательство Теорема Стейница может использоваться, чтобы показать, что любой трехмерный многогранник может быть реализован с рациональными координатами, но теперь известно, что существуют иррациональные многогранники в четырех измерениях. Однако многогранник Перлеса имеет наименьшее количество вершин среди всех известных иррациональных многогранников.^[2]

Примечания

Рекомендации

• Бергер, Марсель (2010), Геометрия раскрыта, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN  978-3-540-70996-1, МИСТЕР  2724440.
• Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники, Тексты для выпускников по математике, 221 (Второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 93–95, ISBN  978-0-387-00424-2, МИСТЕР  1976856.
• Гудман, Джейкоб Э.; Поллак, Ричард М.; Штурмфельс, Бернд (1989). «Координатное представление типов заказов требует экспоненциального хранения». Материалы 21-го ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. ACM. С. 405–410.