Гипотеза Рота - Википедия - Rotas conjecture

Гипотеза об исключенных несовершеннолетних Рота одна из гипотез, сделанных математиком Джан-Карло Рота. Некоторые члены сообщества структурной комбинаторики считают это важной проблемой. Рота предполагаемый в 1971 г., что для каждого конечное поле, семья матроиды это может быть представлен над этим полем имеет только конечное число исключенные несовершеннолетние.^[1]Доказательство гипотезы было объявлено Гиленом, Джерардсом и Уиттлом.^[2]

Формулировка гипотезы

Если ${ displaystyle S}$ набор точек в векторное пространство определяется над полем ${ displaystyle F}$, то линейно независимые подмножества ${ displaystyle S}$ образуют независимые множества матроид ${ displaystyle M}$; ${ displaystyle S}$ считается представление любого матроида, изоморфного ${ displaystyle M}$. Не каждый матроид имеет представление для каждого поля, например, Самолет Фано представима только над полями характеристики два. Другие матроиды вообще не могут быть представлены без полей. Матроиды, представимые в определенном поле, образуют надлежащий подкласс всех матроидов.

А незначительный Матроид - это еще один матроид, образованный последовательностью двух операций: удаления и сокращения. В случае точек из векторного пространства удаление точки - это просто удаление этой точки из ${ displaystyle S}$; сжатие - это двойная операция, при которой точка удаляется, а оставшиеся точки проецируются на гиперплоскость, не содержащую удаленных точек. Отсюда следует, что если матроид представим над полем, то все его миноры тоже. Матроид, не представимый над ${ displaystyle F}$, и незначительно-минимальный с этим свойством называется «исключенным несовершеннолетним»; матроид ${ displaystyle M}$ представима над ${ displaystyle F}$ тогда и только тогда, когда он не содержит одного из запрещенных несовершеннолетних.

Для представимости над действительные числа Запрещенных несовершеннолетних бесконечно много.^[3] Гипотеза Роты состоит в том, что для любого конечного поля ${ displaystyle F}$, есть только конечное число запрещенных несовершеннолетних.

Частичные результаты

В. Т. Тутте доказал, что бинарные матроиды (матроиды, представимые над полем из двух элементов) имеют единственный запрещенный минор, униформа матроид ${ displaystyle U {} _ {4} ^ {2}}$ (геометрически линия с четырьмя точками на ней).^[4][5]

Матроид представим над тернарным полем GF (3) тогда и только тогда, когда он не имеет в качестве миноров одного или нескольких из следующих четырех матроидов: пятиконечной прямой ${ displaystyle U {} _ {5} ^ {2}}$, это двойной матроид ${ displaystyle U {} _ {5} ^ {3}}$ (пять точек в общем положении в трех измерениях), плоскость Фано или двойственная к плоскости Фано. Таким образом, гипотеза Роты верна и в этом случае.^[6][7] Как следствие этого результата и запрещенной минорной характеристики Тутте (1958) из обычные матроиды (матроиды, которые могут быть представлены во всех полях), из этого следует, что матроид является правильным тогда и только тогда, когда он является как двоичным, так и троичным.^[7]

Для матроидов, представимых над GF (4), существует семь запрещенных миноров.^[8] Они есть:

• Шеститочечная линия ${ displaystyle U {} _ {6} ^ {2}}$.
• Двойной ${ displaystyle U {} _ {6} ^ {4}}$ к шеститочечной линии - шесть точек в общем положении в четырех измерениях.
• Самодуальный шеститочечный матроид третьего ранга с одной трехточечной линией.
• Матроид, не принадлежащий Фано, образованный семью точками в вершинах, серединами ребер и центроидом равносторонний треугольник в Евклидова плоскость. Эта конфигурация является одним из двух известных наборов плоских точек с менее чем ${ displaystyle n / 2}$ двухточечные линии.^[9]
• Двойник матроида нефано.
• Восьмиточечный матроид квадратная антипризма.
• Матроид, полученный расслаблением уникальной пары непересекающихся контуров-гиперплоскостей квадратной антипризмы.

Этот результат выиграл 2003 год. Премия Фулкерсона для его авторов Джим Гилен, А. М. Х. Джерардс и А. Капур.^[10]

Для GF (5) известно несколько запрещенных миноров до 12 элементов,^[11] но неизвестно, является ли список полным.

Сообщенное доказательство

Джефф Уиттл объявил во время визита в Великобританию в 2013 году, что он, Джим Гилен, и Берт Джерардс решили гипотезу Роты. Сотрудничество включало интенсивные посещения, когда исследователи каждый день целый день сидели в комнате перед белой доской.^[12] Им потребуются годы, чтобы полностью описать свое исследование и опубликовать его.^[13][14] Схема доказательства появилась в Уведомлениях AMS.^[15]

Смотрите также

• Базисная гипотеза Роты, другая гипотеза Роты о линейной алгебре и матроидах

Рекомендации