Модель бидомена - Bidomain model

В модель бидомена это математическая модель для определения электрической активности сердце. Он состоит из континуума (среднего объема), при котором микроструктура сердца определяется в терминах мышечных волокон, сгруппированных в листы, образующих сложную трехмерный структура с анизотропическими свойствами. Затем, чтобы определить электрическую активность, рассматриваются два взаимопроникающих домена, которые являются внутриклеточный и внеклеточный домены, представляющие соответственно пространство внутри ячеек и область между ними.^[1]

Модель бидомена была впервые предложена Шмитт в 1969 г.^[2] до математической формулировки в конце 1970-х гг.^{[3][4][5][6][7][8][9][10]}

Поскольку это модель континуума, она не описывает каждую ячейку в отдельности, а представляет средние свойства и поведение группы ячеек, организованных в сложную структуру. Таким образом, модель получается сложной и может рассматриваться как обобщение теория кабеля в более высокие измерения и, собираясь определить так называемые бидоменные уравнения.^[11][12]

Многие интересные свойства бидоменной модели возникают из условия неравных соотношений анизотропии. В электрическая проводимость в анизотропных тканях не уникальна во всех направлениях, но отличается в параллельном и перпедикулярном направлениях по отношению к волокнистой. Более того, в тканях с неодинаковыми соотношениями анизотропии соотношение проводимостей, параллельных и перпендикулярных волокнам, во внутриклеточном и внеклеточные пространства. Например, в сердечной ткани соотношение анизотропии во внутриклеточном пространстве составляет около 10: 1, а во внеклеточном пространстве - около 5: 2.^[13]Математически неравные отношения анизотропии означают, что эффект анизотропии не может быть устранен путем изменения шкалы расстояний в одном направлении.^[14]Вместо этого анизотропия оказывает более сильное влияние на электрические характеристики.^[15]

Три примера влияния неравных соотношений анизотропии:

• распределение трансмембранный потенциал при униполярной стимуляции листка сердечной ткани,^[16]
• в магнитное поле создается фронтом волны потенциала действия, распространяющимся через сердечную ткань,^[17]
• влияние кривизны волокна на распределение трансмембранного потенциала при ударе электрическим током.^[18]

Формулировка

Биддомен

Домен бидоменной модели, рассматривающий внутриклеточную и внеклеточную области как уникальную физическую область, представляющую сердце, и внемиокардиальную область, представляющую туловище или жидкостную ванну.

Бидоменный домен в основном представлен двумя основными областями: сердечными клетками, называемыми внутриклеточными доменами, и окружающим их пространством, называемым внеклеточным доменом. Более того, обычно рассматривается другая область, называемая экстрамиокардиальной областью. Внутриклеточные и внеклеточные домены, которые разделены клеточная мембрана, считаются уникальным физическим пространством, представляющим сердце (${displaystyle mathbb {H}}$), а экстрамиокардиальный домен представляет собой уникальное физическое пространство, прилегающее к ним (${displaystyle mathbb {T}}$). Экстрамиокардиальную область можно рассматривать как ванну с жидкостью, особенно если нужно моделировать экспериментальные условия, или как человеческий торс для моделирования физиологических условий.^[12]Граница двух основных определенных физических областей важна для решения модели двух областей. Здесь граница сердца обозначена как ${displaystyle partial mathbb {H}}$ в то время как граница области торса ${displaystyle partial mathbb {T}.}$^[12]

Неизвестные и параметры

Неизвестных в модели бидомена три, внутриклеточный потенциал ${displaystyle v_ {i}}$, внеклеточный потенциал ${displaystyle v_ {e}}$ и трансмембранный потенциал ${displaystyle v}$, который определяется как разность потенциалов на клеточной мембране ${displaystyle v = v_ {i} -v_ {e}}$.^[12]

Кроме того, необходимо учитывать некоторые важные параметры, особенно матрицу тензора внутриклеточной проводимости. ${displaystyle mathbf {Sigma} _ {i}}$, матрица тензора внеклеточной проводимости ${displaystyle mathbf {Sigma} _ {e}}$. Трансмембранный ток течет между внутриклеточными и внеклеточными областями и частично описывается соответствующим ионным током через мембрану на единицу площади. ${displaystyle I_ {ion}}$. Кроме того, емкость мембраны на единицу площади ${displaystyle C_ {m}}$ и отношение поверхности к объему клеточной мембраны ${displaystyle chi}$ необходимо учитывать при выводе формулировки модели бидомена, что делается в следующем раздел.^[12]

Стандартный состав

Модель бидомена определяется двумя уравнения в частных производных (PDE), первая из которых является уравнение диффузии реакции с точки зрения трансмембранный потенциал, а второй вычисляет внеклеточный потенциал, исходя из данного распределения трансмембранного потенциала.^[12]

Таким образом, модель бидомена можно сформулировать следующим образом:

${displaystyle {egin {alignat} {2} & abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla vight) + abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e} ight) = chi left (C_ {m} {frac {partial v} {partial t}} + I_ {mathrm {ion}} ight) -I_ {s_ {1}} & abla cdot left (left (mathbf {Sigma} _ {i} + mathbf { Sigma} _ {e} ight) abla v_ {e} ight) = - abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla vight) + I_ {s_ {2}} end {alignat}}}$

куда ${displaystyle I_ {s_ {1}}}$ и ${displaystyle I_ {s_ {2}}}$ можно определить как приложенные токи внешнего воздействия.^[12]

Уравнение ионного тока

Ионный ток обычно представлен в виде ионная модель через систему обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Математически можно написать ${displaystyle I_ {ion} = I_ {ion} (v, mathbf {w})}$ куда ${displaystyle mathbf {w}}$ называется ионной переменной. Тогда вообще для всех ${displaystyle t> 0}$, система читает^[19]

${displaystyle {egin {case} {frac {partial mathbf {w}} {partial t}} = mathbf {F} (v, mathbf {w}) & {ext {in}} mathbb {H} mathbf {w} (t = 0) = mathbf {w} _ {0} & {ext {in}} mathbb {H} end {case}}}$

Были предложены различные ионные модели:^[19]

• феноменологические модели, которые являются простейшими и используются для воспроизведения маскропного поведения клетки.
• физиологические модели, которые учитывают как макроскопическое поведение, так и физиологию клетки с довольно подробным описанием наиболее важного ионного тока.

Модель экстрамиокардиальной области

В некоторых случаях рассматривается экстрамиокардиальная область. Это подразумевает добавление к бидоменной модели уравнения, описывающего распространение потенциала внутри экстрамиокардиального домена.^[12]

Обычно это уравнение представляет собой простое обобщенное Уравнение лапласа типа^[12]

${displaystyle -abla cdot (mathbf {Sigma} _ {0} abla v_ {0}) = 0quad mathbf {x} in mathbb {T}}$

куда ${displaystyle v_ {0}}$ потенциал во внемиокардиальной области и ${displaystyle mathbf {Sigma} _ {0}}$ - соответствующий тензор проводимости.

Кроме того, рассматривается допущение изолированной области, что означает, что добавляются следующие граничные условия

${displaystyle (mathbf {Sigma} _ {0} abla v_ {0}) cdot mathbf {n} _ {0} = 0quad mathbf {x} in partial mathbb {T},}$

${displaystyle mathbf {n} _ {0}}$ является нормальным элементом, направленным за пределы экстрамиокардиального домена.^[12]

Если экстрамиокардиальной областью является торс человека, эта модель приводит к передовая проблема электрокардиологии.^[12]

Вывод

Уравнения бидомены выводятся из Уравнения Максвелла электромагнетизма с учетом некоторых уточнений.^[12]

Первое предположение состоит в том, что внутриклеточный ток может течь только между внутриклеточными и внеклеточными областями, в то время как внутриклеточные и внемиокардиальные области могут сообщаться между ними, так что ток может течь во внемиокардиальные области и из них, но только во внеклеточное пространство.^[12]

С помощью Закон Ома и квазистатическое предположение, градиент скалярного потенциального поля ${displaystyle varphi}$ может описать электрическое поле ${displaystyle mathbf {E}}$, что обозначает^[12]

${displaystyle mathbf {E} = -abla varphi.}$

Тогда, если ${displaystyle J}$ представляют собой плотность тока электрического поля ${displaystyle mathbf {E}}$, можно получить два уравнения^[12]

${displaystyle {egin {alignat} {2} J_ {i} & = - mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {i} J_ {e} & = - mathbf {Sigma} _ {e} abla v_ {e } .end {alignat}}}$

где нижний индекс ${displaystyle i}$ и ${displaystyle e}$ представляют собой внутриклеточные и внеклеточные количества соответственно.^[12]

Второе предположение заключается в том, что сердце изолировано, поэтому ток, выходящий из одной области, должен течь в другую. Тогда плотность тока в каждом из внутриклеточных и внеклеточных доменов должна быть равной по величине, но противоположной по знаку, и может быть определена как произведение отношения поверхности к объему клеточной мембраны и трансмембранной плотности ионного тока. ${displaystyle I_ {m}}$ на единицу площади, что означает, что^[12]

${displaystyle -abla cdot J_ {i} = abla cdot J_ {e} = chi I_ {m}.}$

Комбинируя предыдущие предположения, получается сохранение плотностей тока, а именно^[12]

${displaystyle {egin {alignat} {2} abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {i}) & = chi I_ {m} abla cdot (mathbf {Sigma} _ {e} abla v_ {e }) & = - chi I_ {m} end {alignat}}}$

(1)

откуда, суммируя два уравнения^[12]

${displaystyle abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {i}) = - abla cdot (mathbf {Sigma} _ {e} abla v_ {e}).}$

Это уравнение точно утверждает, что все токи, выходящие из одной области, должны входить в другую.^[12]

Отсюда легко найти второе уравнение бидоменной модели, вычитая ${displaystyle abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e})}$ с обеих сторон. Фактически,^[12]

${displaystyle abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {i}) - abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e}) = - abla cdot (mathbf {Sigma} _ {e} abla v_ {e}) - abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e})}$

и зная, что трансмембральный потенциал определяется как ${displaystyle v = vi-v_ {e}}$^[12]

${displaystyle abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v) = - abla cdot ((mathbf {Sigma} _ {i} + mathbf {Sigma} _ {e}) abla v_ {e}).}$

Затем, зная трансмембральный потенциал, можно восстановить внеклеточный потенциал.

Затем ток, протекающий через клеточную мембрану, можно смоделировать с помощью уравнение кабеля,^[12]

${displaystyle I_ {m} = chi left (C_ {m} {frac {partial v} {partial t}} + I_ {ion} ight),}$

(2)

Комбинируя уравнения (1) и (2) дает^[12]

${displaystyle abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {i} ight) = chi left (C_ {m} {frac {partial v} {partial t}} + I_ {ion} ight).}$

Наконец, добавляя и вычитая ${displaystyle abla cdot (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e})}$ слева и переставляя ${displaystyle v = vi-v_ {e}}$, можно получить первое уравнение бидоменной модели^[12]

${displaystyle abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla vight) + abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e} ight) = chi left (C_ {m} {frac {partial v) } {partial t}} + I_ {mathrm {ion}} ight),}$

который описывает эволюцию трансмембрального потенциала во времени.

Окончательный состав, описанный в стандартный состав сечение получается путем обобщения с учетом возможных внешних стимулов, которые могут быть получены через внешние приложенные токи. ${displaystyle I_ {s_ {1}}}$ и ${displaystyle I_ {s_ {2}}}$.^[12]

Граничные условия

Для решения модели необходимы граничные условия. Более классическими граничными условиями являются следующие, сформулированные Тунгом.^[6]

Прежде всего, как указывалось ранее в выводить секции, не было никакого потока тока между внутриклеточными и внемиокардиальными доменами. Математически это можно описать как^[12]

${displaystyle (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {i}) cdot mathbf {n} = 0quad mathbf {x} в частичном mathbb {H}}$

куда ${displaystyle mathbf {n}}$ представляет собой вектор, который представляет собой внешнюю единицу, нормальную к поверхности миокарда сердца. Поскольку внутриклеточный потенциал явно не представлен в формулировке бидомена, это состояние обычно описывается в терминах трансмембранного и внеклеточного потенциала, зная, что ${displaystyle v = v_ {i} -v_ {e}}$, а именно^[12]

${displaystyle (mathbf {Sigma} _ {i} abla v) cdot mathbf {n} = - (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e}) cdot mathbf {n} quad mathbf {x} в частичном mathbb { H}.}$

Для внеклеточного потенциала, если представлена ​​область миокарда, учитывается баланс потока между внеклеточной и внемиокардиальной областями.^[12]

${displaystyle left (mathbf {Sigma} _ {e} abla v_ {e} ight) cdot mathbf {n} _ {e} = - left (mathbf {Sigma} _ {0} abla v_ {0} ight) cdot mathbf { n} _ {0} quad mathbf {x} в частичном mathbb {H}.}$

Здесь рассматриваются нормальные векторы с точки зрения обеих областей, поэтому отрицательный знак необходим. Кроме того, необходима идеальная передача потенциала на границе сердца, что дает^[12]

${displaystyle v_ {e} = v_ {0} quad mathbf {x} в частичном mathbb {H}}$.

Вместо этого, если сердце считается изолированным, что означает, что область миокарда не представлена, возможное граничное условие для внеклеточной проблемы:

${displaystyle left (mathbf {Sigma} _ {i} abla vight) cdot mathbf {n} = -left ((mathbf {Sigma} _ {i} + mathbf {Sigma} _ {e}) abla v_ {e} ight) cdot mathbf {n} quad mathbf {x} в частичном mathbb {H}.}$^[12]

Приведение к монодоменной модели

Предполагая равные отношения анизотропии для внутри- и внеклеточного доменов, т.е. ${displaystyle mathbf {Sigma} _ {i} = lambda mathbf {Sigma} _ {e}}$ для некоторого скаляра ${displaystyle lambda}$, модель может быть сведена к одному единственному уравнению, называемому монодоменное уравнение

${displaystyle abla cdot (mathbf {Sigma} abla v) = chi left (C_ {m} {frac {partial v} {partial t}} + I_ {mathrm {ion}} ight) -I_ {s}}$

где единственной переменной теперь является трансмембранный потенциал, а тензор проводимости ${displaystyle mathbf {Sigma}}$ это комбинация ${displaystyle mathbf {Sigma} _ {i}}$ и ${displaystyle mathbf {Sigma} _ {e}.}$^[12]

Постановка с граничными условиями в изолированной области

Если сердце рассматривать как изолированную ткань, а это означает, что ток не может течь за ее пределами, окончательная формулировка с граничными условиями выглядит так^[12]

${displaystyle {egin {cases} abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla vight) + abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla v_ {e} ight) = chi left (C_ {m}) {frac {partial v} {partial t}} + I_ {mathrm {ion}} ight) -I_ {s_ {1}} & mathbf {x} в mathbb {H} abla cdot left (left (mathbf {Sigma} _ {i} + mathbf {Sigma} _ {e} ight) abla v_ {e} ight) = - abla cdot left (mathbf {Sigma} _ {i} abla vight) + I_ {s_ {2}} & mathbf {x} в mathbb {H} mathbf {Sigma} _ {i} (abla v + abla v_ {e}) cdot mathbf {n} = 0 & mathbf {x} в частичном mathbb {H} left [mathbf {Sigma} _ {i } (abla v + abla v_ {e}) + mathbf {Sigma} _ {e} abla v_ {e} ight] cdot mathbf {n} = 0 & mathbf {x} в частичном mathbb {H} конце {случаях}}}$

Численное решение

Существуют различные возможные методы решения уравнений бидомены. Между ними можно найти конечно-разностные схемы, схемы конечных элементов а также схемы конечных объемов. Для численного решения этих уравнений можно уделить особое внимание из-за высокого временного и пространственного разрешения, необходимого для численной сходимости.^[20][21]

Смотрите также

• Монодоменная модель
• Перспективная проблема электрокардиологии

Рекомендации

внешняя ссылка

• Статья в Scholarpedia о бидоменной модели