Перспективная проблема электрокардиологии - Forward problem of electrocardiology

Моделирование реалистичного сердцебиения.

Принципиальная схема нормального синусового ритма человеческого сердца на ЭКГ.

В передовая проблема электрокардиологии вычислительно-математический подход к изучению электрическая активность из сердце через поверхность тела.^[1] Основная цель этого исследования - численное воспроизведение ЭКГ (ЭКГ), что имеет важное клиническое значение для определения сердечные патологии Такие как ишемия и инфаркт, или проверить фармацевтическое вмешательство. Учитывая их важные функции и относительно небольшую инвазивность, электрокардиография методики используются довольно часто как клинические диагностические тесты. Таким образом, естественно перейти к компьютерному воспроизведению ЭКГ, что означает математическое моделирование сердечного поведения внутри тела.^[1]

Три основные части прямой модели ЭКГ:

модель сердечной электрической активности;
модель распространения электрического потенциала внутри туловища, которая представляет экстракардиальную область;
некоторые специфические условия соединения сердца и туловища.^[2]

Таким образом, для получения ЭКГ необходимо рассмотреть математическую электрическую модель сердца в сочетании с диффузной моделью в пассивный проводник который описывает распространение электричества внутри торс.^[1]

Связанная модель обычно представляет собой трехмерная модель выражается в виде уравнения в частных производных. Такая модель обычно решается с помощью метод конечных элементов для эволюции пространства решения и полунеявные численные схемы с участием конечные разности для эволюции решения во времени. Однако вычислительные затраты на такие методы, особенно при трехмерном моделировании, довольно высоки. Таким образом, часто рассматриваются упрощенные модели, решающие, например, электрическую активность сердца независимо от проблемы на торсе. Для получения реалистичных результатов необходимо использовать трехмерные анатомически реалистичные модели сердца и туловища.^[1]

Еще одно возможное упрощение: динамическая модель из трех обыкновенные дифференциальные уравнения.^[3]

Модели сердечной ткани

Электрическая активность сердца вызвана потоком ионы через клеточная мембрана, между внутриклеточным и внеклеточным пространствами, что определяет волну возбуждения по сердечная мышца который координирует сердечное сокращение и, таким образом, насосное действие сердца, которое позволяет ему толкать кровь сквозь сердечно-сосудистая система. Таким образом, моделирование электрической активности сердца связано с моделированием потока ионов на микроскопический уровне, а по распространению волны возбуждения по мышце волокна на макроскопический уровень.^[1]^[4]

Между математической моделью на макроскопическом уровне, Виллем Эйнтховен и Август Уоллер определили ЭКГ через концептуальную модель диполя, вращающегося вокруг фиксированной точки, проекция которого на вести ось определила ведущие записи. Затем двумерный реконструкция сердечной деятельности во фронтальной плоскости была возможна с помощью Конечности Эйнтховена ведут I, II и III как теоретическая основа.^[5] Позже вращающийся кардиальный диполь был признан неадекватным и был заменен на многополярный источники, движущиеся внутри ограниченной области торса. Основным недостатком методов, используемых для количественной оценки этих источников, является отсутствие в них деталей, которые, тем не менее, очень важны для реалистичного моделирования сердечных явлений.^[4]

С другой стороны, микроскопические модели пытаются представить поведение отдельных клеток и связать их с учетом их электрических свойств.^[6]^[7]^[8] Эти модели представляют некоторые проблемы, связанные с различными масштабами, которые необходимо уловить, в частности с учетом этого, особенно для крупномасштабных явлений, таких как возвращение в атмосферу или потенциал поверхности тела коллективное поведение ячеек более важно, чем поведение каждой отдельной ячейки.^[4]

Третий вариант моделирования электрической активности сердца - это рассмотреть так называемый «средний подход», при котором модель включает как более низкий, так и более высокий уровень детализации. Эта опция учитывает поведение блока ячеек, называемого континуальной ячейкой, что позволяет избежать проблем с масштабом и детализацией. Полученная модель называется модель бидомена, который часто заменяется его упрощением, монодоменная модель.^[4]

Модель бидомена

Стилизованное изображение человеческого торса, которое описывает область и обозначения, рассматриваемые для прямой задачи электрокардиографии. Рассмотрены две отдельные области и их граница, которые представляют собой сердце и человеческий торс вокруг нее.

Основное предположение модели бидомена состоит в том, что ткань сердца может быть разделена на две омически проводящие непрерывные среды, соединенные, но разделенные через клеточную мембрану. Эти среды называются внутриклеточными и внеклеточными областями, первая из которых представляет клеточные ткани, а вторая - пространство между клетками.^[2]^[1]

Стандартная формулировка бидоменной модели, включая динамическую модель ионного тока, следующая^[2]

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) = A_ {m} left (C_ {m} { frac { partial V_ {m}} { partial t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) right) + I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} { frac { partial w} { partial {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} end {cases}}}

куда ${ displaystyle V_ {m}}$ и ${ displaystyle u_ {e}}$ - трансмембранный и внеклеточный потенциалы соответственно, ${ displaystyle I_ {ion}}$ ионный ток, который зависит также от так называемой стробирующей переменной ${ displaystyle w}$ (с учетом ионного поведения на клеточном уровне), и ${ displaystyle I_ {app}}$ - внешний ток, приложенный к домену. Более того, ${ Displaystyle mathbf { sigma} _ {я}}$ и ${ displaystyle mathbf { sigma} _ {e}}$ - тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости, ${ displaystyle A_ {m}}$ - отношение поверхности к объему клеточной мембраны и ${ displaystyle C_ {m}}$ - емкость мембраны на единицу площади. Здесь домен ${ displaystyle Omega _ {H}}$ представляет сердечную мышцу.^[2]

Граничные условия для этой версии бидоменной модели получены из предположения, что нет потока внутриклеточного потенциала за пределы сердца, что означает, что

{ displaystyle mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} cdot mathbf {n} + mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = 0 quad quad { text {on}} Sigma}

куда ${ Displaystyle Sigma = partial Omega _ {H}}$ обозначает границу области сердца и ${ Displaystyle mathbf {п}}$ внешняя единица нормальна к ${ displaystyle Sigma}$ .^[2]

Монодоменная модель

Модель монодомена является упрощением модели бидомена, которая, несмотря на некоторые нефизиологические предположения, способна представить реалистичные электрофизиологические явления, по крайней мере, в том, что касается трансмембранного потенциала. ${ displaystyle V_ {m}}$ .^[2]^[1]

Стандартная формулировка - это следующее уравнение в частных производных, единственное неизвестное для которого ${ displaystyle V_ {m}}$ трансмембранный потенциал:

{ displaystyle chi C_ {m} { frac { partial V_ {m}} { partial t}} - nabla cdot left ( mathbf { sigma} _ {i} { frac { lambda } {1+ lambda}} nabla V_ {m} right) + chi I_ {ion} = I_ {app} quad quad { text {in}} Omega _ {H}}

куда ${ displaystyle lambda}$ - параметр, связывающий тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости.^[2]

Граничное условие, используемое для этой модели:^[9]

{ displaystyle left ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} right) cdot mathbf {n} = 0 quad quad { text {on}} partial Omega _ {ЧАС}.}

Модель ткани туловища

В прямой задаче электрокардиографии туловище рассматривается как пассивный проводник, и его модель может быть получена, исходя из Уравнения Максвелла в квазистатическом предположении.^[1]^[2]

Стандартная формулировка состоит из уравнения в частных производных с одним неизвестным скалярным полем, потенциалом туловища ${ displaystyle u_ {T}}$ . По сути, модель торса представляет собой следующее обобщенное Уравнение лапласа

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 quad quad { text {in}} Omega _ {T},}

куда ${ Displaystyle mathbf { sigma} _ {T}}$ - тензор проводимости и ${ displaystyle Omega _ {T}}$ это область, окружающая сердце, т.е. человеческий торс.^[2]

Вывод

Что касается бидоменной модели, модель туловища может быть получена из уравнений Максвелла и уравнение неразрывности после некоторых предположений. Прежде всего, поскольку электрическая и магнитная активность внутри тела создается на низком уровне, можно рассмотреть квазистатическое допущение. Таким образом, тело можно рассматривать как пассивный проводник, что означает, что его емкостным, индуктивным и распространяющим эффектом можно пренебречь.^[1]

При квазистатическом предположении уравнения Максвелла имеют вид^[1]

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot mathbf {E} & = { frac { rho} { epsilon _ {0}}} nabla times mathbf {E} & = 0 nabla cdot mathbf {B} & = 0 nabla times mathbf {B} & = mu _ {0} mathbf {J} end {cases}}}

а уравнение неразрывности имеет вид^[1]

{ displaystyle nabla cdot mathbf {J} = 0.}

Поскольку его ротор равен нулю, электрическое поле может быть представлено градиентом скалярного потенциального поля, потенциала туловища

{ displaystyle mathbf {E} = - nabla u_ {T}}

(1)

где отрицательный знак означает, что ток течет из областей с более высоким потенциалом в области с более низким потенциалом.^[1]

Тогда полную плотность тока можно выразить через ток проводимости и другие различные приложенные токи, так что из уравнения неразрывности^[1]

{ displaystyle nabla cdot mathbf {J} = nabla cdot ( mathbf {J} _ {app} + mathbf { sigma} _ {T} mathbf {E}) = 0}

(2)

Затем, подставив (1) в (2)

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = nabla cdot mathbf {J} _ {app} = I_ {v}}

в котором ${ displaystyle I_ {v}}$ ток на единицу объема.^[1]

Наконец, поскольку кроме сердца внутри туловища нет источника тока, ток на единицу объема можно установить равным нулю, что дает обобщенное уравнение Лапласа, которое представляет собой стандартную формулировку диффузионной проблемы внутри туловища.^[1]

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 quad quad { text {in}} Omega _ {T}.}

Граничное условие

Граничные условия учитывают свойства среды, окружающей туловище, то есть воздуха вокруг тела. Как правило, воздух имеет нулевую проводимость, что означает, что ток не может выходить за пределы туловища. Это переводится в следующее уравнение^[1]

{ displaystyle mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} _ {T} = 0 quad quad { text {on}} Gamma _ {T}}

куда ${ displaystyle mathbf {n} _ {T}}$ единица направлена наружу нормально к туловищу и ${ displaystyle Gamma _ {T}}$ это граница туловища, что означает поверхность туловища.^[1]^[2]

Проводимость туловища

Обычно считается, что туловище имеет изотропную проводимость, что означает, что ток течет одинаково во всех направлениях. Однако туловище не является пустой или однородной оболочкой, а содержит разные органы, характеризующиеся разными коэффициентами проводимости, которые могут быть получены экспериментально. Простой пример параметров проводимости туловища с учетом костей и легких представлен в следующей таблице.^[2]

Значения проводимости туловища.^[2]
${ displaystyle sigma _ {T} ^ { text {легкие}}}$	${ displaystyle sigma _ {T} ^ { text {кости}}}$	${ displaystyle sigma _ {T} ^ { text {остальные регионы}}}$
(См / см)	(См / см)	(См / см)
${ displaystyle 2,4 times 10 ^ {- 4}}$	${ displaystyle 4 times 10 ^ {- 5}}$	${ displaystyle 6 times 10 ^ {- 4}}$

Модели сердце-торс

Связь между моделью электрической активности и моделью туловища достигается с помощью подходящих граничных условий на эпикарде, то есть на поверхности раздела между сердцем и туловищем.^[1]^[2]

Модель сердце-торс может быть полностью связана, если рассматривается идеальная электрическая передача между двумя доменами, или может быть не связана, если электрическая модель сердца и модель торса решаются отдельно с ограниченным или несовершенным обменом информацией между ними.^[2]

Полностью связанные модели сердце-торс

Полное соединение между сердцем и туловищем достигается за счет идеального состояния электрической передачи между сердцем и торсом. Это делается с учетом следующих двух уравнений, которые устанавливают связь между внеклеточным потенциалом и потенциалом туловища.^[2]

{ displaystyle { begin {align} u_ {e} & = u_ {T} quad quad & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ { e}) cdot mathbf {n} _ {e} & = - ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} _ {T} quad quad & { text {on}} Sigma. end {align}}}

Эти уравнения обеспечивают непрерывность как потенциала, так и тока через эпикард.^[2]

Используя эти граничные условия, можно получить две разные полностью связанные модели сердце-торс, учитывая либо бидоменную, либо монодоменную модель для электрической активности сердца. С числовой точки зрения две модели очень дороги в вычислительном отношении и имеют схожие вычислительные затраты.^[2]

Альтернативные граничные условия

Граничные условия, которые представляют собой идеальную электрическую связь между сердцем и торсом, являются наиболее часто используемыми и классическими. Однако между сердцем и туловищем есть перикард - мешок с двойной стенкой, содержащий серозную жидкость, которая оказывает определенное влияние на электрическую передачу. Принимая во внимание емкость ${ displaystyle C_ {p}}$ и резистивный ${ displaystyle R_ {p}}$ Эффект перикарда, альтернативные граничные условия, учитывающие этот эффект, можно сформулировать следующим образом^[10]

{ displaystyle { begin {align} R_ {p} mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} & = R_ {p} C_ {p} { frac { partial (u_ {T} -u_ {e})} { partial t}} + (u_ {T} -u_ {e}) quad quad & { text {on}} Sigma mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} & = mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} quad quad & { text {on}} Sigma end {align}}}

Формулировка с использованием модели бидомена

Полностью связанная модель сердце-торс, учитывая модель бидомена для электрической активности сердца в полном виде^[2]

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) = A_ {m} left (C_ {m} { frac { partial V_ {m}} { partial t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) right) + I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} { frac { partial w} { partial {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) cdot mathbf {n} + ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Sigma u_ {e} = u_ {T} & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} end {case}}}

где первые четыре уравнения являются уравнения в частных производных представляющие модель бидомена, ионную модель и модель туловища, в то время как остальные представляют граничные условия для моделей бидомена и туловища и условия связи между ними.^[2]

Формулировка с использованием модели монодоменной области

Полностью связанная модель сердце-торс с учетом монодоменная модель электрическая активность сердца более сложна, чем проблема бидомена. Действительно, условия сцепления связывают потенциал туловища с внеклеточным потенциалом, который не рассчитывается с помощью модели монодомена. Таким образом, необходимо также использовать второе уравнение модель бидомена (при тех же предположениях, при которых выводится модель монодоменной области), что дает:^[2]

{ displaystyle nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 quad quad { text {in}} Omega _ {H}.}

Таким образом, не нужно изменять условия сцепления, и полная модель сердце-торс состоит из двух разных блоков:^[2]

Сначала необходимо решить монодоменную модель с ее обычным граничным условием:

{ displaystyle { begin {case} chi C_ {m} { frac { partial V_ {m}} { partial t}} - nabla cdot left ( mathbf { sigma} _ {i} { frac { lambda} {1+ lambda}} nabla V_ {m} right) + chi I_ {ion} = I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} left ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} right) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} partial Omega _ {H}. end {случаи}}}

Затем должна быть решена сопряженная модель, которая включает вычисление внеклеточного потенциала, модель туловища и условия сопряжения:

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + набла cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} u_ {e} = u_ {T} & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} & { text {on}} Sigma конец {case}}}

Несвязанные модели сердце-торс

Полностью связанные модели сердце-торс - очень подробные модели, но их решение требует больших вычислительных ресурсов.^[2] Возможное упрощение обеспечивается так называемым несвязанное предположение в котором сердце считается полностью электрически изолированным от сердца.^[2] Математически это делается так, чтобы ток не мог течь по эпикарду от сердца к туловищу, а именно:^[2]

{ displaystyle mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = 0 quad quad { text {on}} Sigma.}

Применяя это уравнение к граничным условиям полностью связанных моделей, можно получить две несвязанные модели сердца и туловища, в которых электрические модели могут быть решены отдельно от модели туловища, что снижает вычислительные затраты.^[2]

Несвязанная модель сердце-торс с моделью бидомена

Несвязанная версия полностью связанной модели сердце-торс, которая использует бидомен для представления электрической активности сердца, состоит из двух отдельных частей:^[2]

В модель бидомена в изолированном виде

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) = A_ {m} left (C_ {m} { frac { partial V_ {m}} { partial t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) right) + I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} { frac { partial w} { partial {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) cdot mathbf {n} + ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on }} Sigma mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Sigma. End {cases}}}

Диффузионная модель туловища в стандартной постановке с условием потенциальной непрерывности

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} u_ {T} = u_ {e} & { текст {on}} Sigma end {case}}}

Несвязанная модель сердце-торс с моделью модомена

Как и в случае полностью связанной модели сердце-торс, в которой используется монодоменная модель, также в соответствующей несвязанной модели необходимо вычислить внеклеточный потенциал. В этом случае необходимо решить три разные и независимые задачи:^[2]

Модель монодоменной области с обычным граничным условием:

{ displaystyle { begin {case} chi C_ {m} { frac { partial V_ {m}} { partial t}} - nabla cdot left ( mathbf { sigma} _ {i} { frac { lambda} {1+ lambda}} nabla V_ {m} right) + chi I_ {ion} = I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} left ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} right) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} partial Omega _ {H}. end {случаи}}}

Задача вычисления внеклеточного потенциала с граничным условием на эпикарде, предписывающим отсутствие внутриклеточного тока:

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + набла cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} ( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = - ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) cdot mathbf {n } & { text {on}} Sigma end {case}}}

Диффузионная модель туловища с граничным условием потенциальной непрерывности на эпикарде:

{ displaystyle { begin {case} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} u_ {T} = u_ {e} & { текст {on}} Sigma end {case}}}

Расчет электрокардиограммы

Прекардиальные отведения на ЭКГ

Решение полностью связанных или несвязанных моделей сердце-торс позволяет получить электрический потенциал, генерируемый сердцем в каждой точке человеческого торса, и в частности на всей поверхности торса. Определив положение электродов на туловище, можно определить временную эволюцию потенциала в таких точках. Затем электрокардиограммы можно вычислить, например, по 12 стандартным отведениям, учитывая следующие формулы^[2]

{ Displaystyle { begin {cases} I & = u_ {T} (L) -u_ {T} (R) II & = u_ {T} (F) -u_ {T} (R) III & = u_ {T} (F) -u_ {T} (L) aVR & = { frac {3} {2}} (u_ {T} (R) -u_ {w}) aVL & = { frac { 3} {2}} (u_ {T} (L) -u_ {w}) aVF & = { frac {3} {2}} (u_ {T} (F) -u_ {w}) V_ {i} & = u_ {T} (V_ {i}) - u_ {w} quad i = 1, dots, 6 end {case}}}

куда ${ Displaystyle и_ {W} = (и_ {T} (L) + u_ {T} (R) + u_ {T} (F)) / 3}$ и ${ Displaystyle L, R, F, {V_ {я} } _ {я = 1, точки, 6}}$ - стандартное расположение электродов.^[2]

Численные методы

Модели сердце-торс выражаются в терминах уравнения в частных производных чьи неизвестные являются функцией как пространства, так и времени. Они, в свою очередь, связаны с ионной моделью, которая обычно выражается в терминах системы обыкновенные дифференциальные уравнения. Для решения этих задач можно использовать различные численные схемы. Обычно метод конечных элементов применяется для пространственной дискретизации, а полунявные конечно-разностные схемы используются для дискретизации по времени.^[1]^[2]

Несвязанные модели сердце-туловище проще всего обрабатывать численно, поскольку электрическая модель сердца может быть решена отдельно от модели туловища, поэтому для решения каждой из них могут применяться классические численные методы. Это означает, что модели бидомена и монодомена могут быть решены, например, с помощью формула обратного дифференцирования для дискретизации по времени, в то время как задачи по вычислению внеклеточного потенциала и потенциала туловища могут быть легко решены путем применения только метода конечных элементов, поскольку они не зависят от времени.^[1]^[2]

Напротив, полностью связанные модели сердце-торс более сложны и требуют более сложных числовых моделей. Например, модель полностью сердце-торс, которая использует модель бидомена для электрического моделирования сердечного поведения, может быть решена с учетом декомпозиция домена методы, такие как разложение области Дирихле-Неймана.^[2]^[11]

Геометрическая модель торса

Трехмерная модель торса, включающая большинство органов.^[12]

Смоделировать и ЭКГ Используя полностью связанные или несвязанные модели, необходима трехмерная реконструкция туловища человека. Сегодня методы диагностической визуализации, такие как МРТ и CT может обеспечить достаточно точные изображения, которые позволяют детально реконструировать анатомические части человека и, таким образом, получить подходящую геометрию туловища. Например, видимые данные о человеке.^[13] - полезный набор данных для создания трехмерной модели торса с подробными сведениями о внутренних органах, включая структуру скелета и мышцы.^[1]

Динамическая модель электрокардиограммы

Даже если результаты достаточно подробны, решение трехмерной модели обычно довольно дорогое. Возможное упрощение - динамическая модель, основанная на трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнениях.^[3]

Квазипериодичность сердечных сокращений воспроизводится трехмерной траекторией вокруг предельного цикла притяжения в ${ Displaystyle (х, у)}$ самолет. Основные пики ЭКГ, то есть P, Q, R, S и T, описываются под фиксированными углами. ${ displaystyle theta _ {P}, theta _ {Q}, theta _ {R}, theta _ {S} { text {and}} theta _ {T}}$ , которые дают следующие три ОДУ^[3]

{ displaystyle { begin {case} x '& = alpha z- omega y y' & = alpha y + omega x z '& = - sum _ {я in {P, Q, R, S, T }} a_ {i} Delta theta _ {i} { text {exp}} left (- { frac { Delta theta _ {i} ^ {2}} {2b_ {i} ^ {2}}} right) - (z-z_ {0}) end {cases}}}

с ${ displaystyle alpha = 1 - { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ , ${ displaystyle Delta theta _ {i} = ( theta - theta _ {i}) { text {mod}} (2 pi)}$ , ${ displaystyle theta = { text {atan}} 2 (y, x)}$

Уравнения можно легко решить с помощью классических численных алгоритмов, таких как Методы Рунге-Кутты для ODE.^[3]