Проблема Бьёрлинга - Björling problem

Каталонская минимальная поверхность. Ее можно определить как минимальную поверхность, симметрично проходящую через циклоиду.

В дифференциальная геометрия, то Проблема Бьёрлинга проблема поиска минимальная поверхность проходящий через заданную кривую с заданной нормалью (или касательными плоскостями). Задача была поставлена ​​и решена шведским математиком Эмануэль Габриэль Бьёрлинг,^[1] с дальнейшим уточнением Герман Шварц.^[2]

Проблему можно решить, продолжив поверхность от кривой с помощью сложных аналитическое продолжение. Если ${ displaystyle c (s)}$ является вещественной аналитической кривой в ℝ³ определяется на интервале я, с ${ displaystyle c '(s) neq 0}$ и векторное поле ${ displaystyle n (s)}$ вдоль c такой, что ${ displaystyle || n (t) || = 1}$ и ${ Displaystyle с '(т) cdot п (т) = 0}$, то минимальна следующая поверхность:

${ Displaystyle X (u, v) = Re left (c (w) -i int _ {w_ {0}} ^ {w} n (w) times c '(w) , dw right )}$

куда ${ displaystyle w = u + iv in Omega}$, ${ displaystyle u_ {0} in I}$, и ${ displaystyle I subset Omega}$ является односвязной областью, в которую включен интервал и разложения в степенной ряд ${ displaystyle c (s)}$ и ${ displaystyle n (s)}$ сходятся.^[3]

Классический пример: Каталонская минимальная поверхность, который проходит через циклоида изгиб. Применение метода к полукубическая парабола производит Поверхность Хеннеберга, а окружности (с подходящим скрученным нормальным полем) минимальный Лента Мебиуса.^[4]

Всегда существует уникальное решение. Его можно рассматривать как Задача Коши для минимальных поверхностей, что позволяет найти поверхность, если известна геодезическая, асимптота или линии кривизны. В частности, если кривая плоская и геодезическая, то плоскость кривой будет плоскостью симметрии поверхности.^[5]

Рекомендации

Внешние галереи изображений

• Björling Surfaces, в архиве минимальных поверхностей Индианы: http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/index.html