Теорема Булевого разложения - Википедия - Booles expansion theorem

Теорема разложения Буля, часто называемый Расширение Шеннона или же разложение, это личность: ${ Displaystyle F = х cdot F_ {x} + x ' cdot F_ {x'}}$, куда ${ displaystyle F}$ есть ли Логическая функция, ${ displaystyle x}$ переменная, ${ displaystyle x '}$ является дополнением ${ displaystyle x}$, и ${ displaystyle F_ {x}}$и ${ displaystyle F_ {x '}}$ находятся ${ displaystyle F}$ с аргументом ${ displaystyle x}$ установить равным ${ displaystyle 1}$ и чтобы ${ displaystyle 0}$ соответственно.

Условия ${ displaystyle F_ {x}}$ и ${ displaystyle F_ {x '}}$ иногда называют положительным и отрицательным Кофакторы Шеннонасоответственно из ${ displaystyle F}$ относительно ${ displaystyle x}$. Это функции, вычисляемые ограничивать оператор ${ displaystyle operatorname {restrict} (F, x, 0)}$ и ${ displaystyle operatorname {restrict} (F, x, 1)}$ (видеть оценка (логика) и частичное применение ).

Это было названо «фундаментальной теоремой булевой алгебры».^[1] Помимо теоретической важности, он проложил путь для диаграммы бинарных решений, решатели выполнимости и многие другие техники, относящиеся к компьютерная инженерия и формальная проверка цифровых схем.

Формулировка теоремы

Более явный способ формулировки теоремы:

${ displaystyle f (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) = X_ {1} cdot f (1, X_ {2}, dots, X_ {n}) + X_ { 1} ' cdot f (0, X_ {2}, dots, X_ {n})}$

Вариации и последствия

XOR-форма

Утверждение также верно, когда дизъюнкция "+" заменяется на XOR оператор:

${ displaystyle f (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) = X_ {1} cdot f (1, X_ {2}, dots, X_ {n}) oplus X_ {1} ' cdot f (0, X_ {2}, dots, X_ {n})}$

Двойная форма

Существует двойная форма расширения Шеннона (которая не имеет связанной формы XOR):

${ displaystyle f (X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}) = (X_ {1} + f (0, X_ {2}, dots, X_ {n})) cdot (X_ {1} '+ f (1, X_ {2}, dots, X_ {n}))}$

Повторное применение каждого аргумента приводит к Сумма продуктов (SoP) каноническая форма булевой функции ${ displaystyle f}$. Например для ${ displaystyle n = 2}$ это было бы

${ displaystyle { begin {align} f (X_ {1}, X_ {2}) & = X_ {1} cdot f (1, X_ {2}) + X_ {1} ' cdot f (0, X_ {2}) & = X_ {1} X_ {2} cdot f (1,1) + X_ {1} X_ {2} ' cdot f (1,0) + X_ {1}' X_ {2} cdot f (0,1) + X_ {1} 'X_ {2}' cdot f (0,0) end {выровнено}}}$

Точно так же применение двойной формы приводит к Произведение сумм (PoS) каноническая форма (с использованием закон распределительности из ${ displaystyle +}$ над ${ displaystyle cdot}$):

${ displaystyle { begin {align} f (X_ {1}, X_ {2}) & = (X_ {1} + f (0, X_ {2})) cdot (X_ {1} '+ f ( 1, X_ {2})) & = (X_ {1} + X_ {2} + f (0,0)) cdot (X_ {1} + X_ {2} '+ f (0,1) ) cdot (X_ {1} '+ X_ {2} + f (1,0)) cdot (X_ {1}' + X_ {2} '+ f (1,1)) end {выравнивается}} }$

Свойства кофакторов

Линейные свойства кофакторов:

Для булевой функции F который состоит из двух логических функций грамм и ЧАС верно следующее:

Если ${ Displaystyle F = H '}$ тогда ${ displaystyle F_ {x} = H '_ {x}}$

Если ${ Displaystyle F = G cdot H}$ тогда ${ Displaystyle F_ {x} = G_ {x} cdot H_ {x}}$

Если ${ Displaystyle F = G + H}$ тогда ${ displaystyle F_ {x} = G_ {x} + H_ {x}}$

Если ${ Displaystyle F = G oplus H}$ тогда ${ displaystyle F_ {x} = G_ {x} oplus H_ {x}}$

Характеристики unate-функций:

Если F это функция unate и...

Если F положительный единый тогда ${ Displaystyle F = х cdot F_ {x} + F_ {x '}}$

Если F отрицательное соединение, тогда ${ Displaystyle F = F_ {x} + x ' cdot F_ {x'}}$

Операции с кофакторами

Логическая разница:

Логическая разница или логическая производная функции F относительно литерала x определяется как:

${ displaystyle { frac { partial F} { partial x}} = F_ {x} oplus F_ {x '}}$

Универсальная количественная оценка:

Универсальная количественная оценка F определяется как:

${ Displaystyle forall xF = F_ {x} cdot F_ {x '}}$

Экзистенциальная количественная оценка:

Экзистенциальная количественная оценка F определяется как:

${ Displaystyle существует xF = F_ {x} + F_ {x '}}$

История

Джордж Буль представил это расширение как свое Предложение II «Расширять или развивать функцию, включающую любое количество логических символов», в своей Законы мысли (1854),^[2] и он «широко применялся Булем и другими логиками девятнадцатого века».^[3]

Клод Шеннон упомянул это разложение среди других булевых тождеств в статье 1948 г.^[4] и показал интерпретации идентичности коммутационной сети. В литературе по компьютерному дизайну и теории переключений личность часто ошибочно приписывается Шеннону.^[3]

Применение к коммутационным схемам

1. Диаграммы двоичных решений следуют из систематического использования этой теоремы
2. Любая логическая функция может быть реализована непосредственно в схема переключения используя иерархию основных мультиплексор повторным применением этой теоремы.

Примечания

Смотрите также

• Разложение Рида – Мюллера

внешняя ссылка

• Разложение Шеннона Пример с мультиплексорами.
• Оптимизация последовательных циклов с помощью декомпозиции Шеннона и повторной синхронизации (PDF) Бумага по заявке.