Три основные теоремы Брауэра - Википедия - Brauers three main theorems

Основные теоремы Брауэра три теоремы из теория представлений конечных групп связь блоки из конечная группа (в характеристике п) со своими п-локальные подгруппы, то есть нормализаторы своей нетривиальной п-подгруппы.

Вторая и третья основные теоремы позволяют уточнить соотношения ортогональности для обычные персонажи который может применяться в конечном теория групп. В настоящее время они не допускают доказательства исключительно в терминах обычных персонажей. Все три основные теоремы сформулированы в терминах Переписка Брауэра.

Переписка Брауэра

Есть много способов расширить нижеследующее определение, но это близко к ранним методам лечения Брауэра. Позволять грамм конечная группа, п быть первым, F быть поле характерных п.Позволять ЧАС быть подгруппой грамм который содержит

{ displaystyle QC_ {G} (Q)}

для некоторых п-подгруппа Qиз ГРАММ, и содержится в нормализатор

{ displaystyle N_ {G} (Q)}

,

куда ${ Displaystyle C_ {G} (Q)}$ это централизатор из Q в грамм.

В Гомоморфизм Брауэра (относительно ЧАС) - линейное отображение центра групповой алгебры грамм над F в соответствующую алгебру для ЧАС. В частности, это ограничение на ${ Displaystyle Z (FG)}$ (линейной) проекции из ${ displaystyle FG}$ к ${ displaystyle FC_ {G} (Q)}$ ядро которого натянуто на элементы грамм за пределами ${ Displaystyle C_ {G} (Q)}$ . Изображение этой карты содержится в ${ Displaystyle Z (FH)}$ , и оказывается, что отображение также является гомоморфизмом колец.

Поскольку это кольцевой гомоморфизм, для любого блока B из FG, гомоморфизм Брауэра передает единичный элемент B либо к 0 или идемпотентному элементу. В последнем случае идемпотент может быть разложен на сумму (взаимно ортогональных) примитивные идемпотенты из Z (FH). Каждый из этих примитивных идемпотентов является мультипликативным тождеством некоторого блока FH. Блок б из FH считается Корреспондент Брауэра из B если его элемент идентичности встречается в этом разложении образа идентичности B при гомоморфизме Брауэра.

Первая основная теорема Брауэра

Первая основная теорема Брауэра (Brauer1944, 1956, 1970 ) утверждает, что если ${ displaystyle G}$ конечная группа и ${ displaystyle D}$ это ${ displaystyle p}$ -подгруппа ${ displaystyle G}$ , то есть биекция между набором (характеристика п) блоки ${ displaystyle G}$ с группой дефектов ${ displaystyle D}$ и блоки нормализатора ${ Displaystyle N_ {G} (D)}$ с группой дефектов D. Это взаимное соответствие возникает потому, что когда ${ Displaystyle H = N_ {G} (D)}$ , каждый блок граммс группой дефектов D имеет уникальный корреспондентский блок Брауэра ЧАС, который также имеет группу дефектов D.

Вторая основная теорема Брауэра

Вторая основная теорема Брауэра (Brauer1944, 1959 ) дает для элемента т чей порядок является степенью простого п, критерий для (характеристики п) блок ${ Displaystyle C_ {G} (т)}$ соответствовать данному блоку ${ displaystyle G}$ , через обобщенные числа разложения. Это коэффициенты, которые возникают, когда ограничения обычных персонажей ${ displaystyle G}$ (из данного блока) к элементам вида ту, куда ты пробегает элементы порядка, простого с п в ${ Displaystyle C_ {G} (т)}$ , записываются как линейные комбинации неприводимых Персонажи Брауэра из ${ Displaystyle C_ {G} (т)}$ . Суть теоремы состоит в том, что необходимо использовать символы Брауэра только из блоков ${ Displaystyle C_ {G} (т)}$ которые являются корреспондентами Брауэра выбранного блока грамм.

Третья основная теорема Брауэра

Третья основная теорема Брауэра (Брауэр 1964, теорема 3) утверждает, что когда Q это п-подгруппа конечной группы грамм,и ЧАС является подгруппой ГРАММ, содержащий ${ displaystyle QC_ {G} (Q)}$ , и содержится в ${ Displaystyle N_ {G} (Q)}$ , то основной блок из ЧАС является единственным корреспондентом Брауэра основного блока грамм (где указанные блоки рассчитываются в характеристике п).

Три основные теоремы Брауэра - Википедия - Brauers three main theorems

Содержание

Переписка Брауэра

Первая основная теорема Брауэра

Вторая основная теорема Брауэра

Третья основная теорема Брауэра

Рекомендации