Проблема с Brocards - Википедия - Brocards problem

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Делает иметь целочисленные решения, отличные от ?
(больше нерешенных задач по математике)

Проблема Брокара проблема в математика который просит найти целое число ценности п и м для которого

куда п! это факториал. Это было поставлено Анри Брокар в паре статей 1876 и 1885 гг. и независимо в 1913 г. Шриниваса Рамануджан.

Коричневые числа

Пары чисел (п, м), решающие проблему Брокара, называются Коричневые числа. По состоянию на 2019 год известно всего три пары чисел Брауна:

(4,5), (5,11) и (7,71).

Пол Эрдёш предположил, что других решений не существует. Оверхольт (1993) показал, что существует лишь конечное число решений при условии, что гипотеза abc правда. Берндт и Голуэй (2000) выполнены расчеты для п до 109 и не нашел дальнейших решений. Матсон (2017) увеличил его на три порядка до одного триллиона. Эпштейн и Гликман (2020) недавно расширили это число еще на три порядка до одного квадриллиона.

Варианты проблемы

Домбровский (1996) обобщил результат Оверхолта, показав, что он следует из гипотеза abc который

имеет только конечное число решений для любого заданного целого числа А. Этот результат был далее обобщен Лука (2002), который показал (снова в предположении abc), что уравнение

имеет только конечное число целочисленных решений для данного многочлен п(Икс) степени не менее 2 с целыми коэффициентами.

Рекомендации

  • Берндт, Брюс С.; Голуэй, Уильям Ф. (2000), "Диофантово уравнение Брокара – Рамануджана. п! + 1 = м2" (PDF), Рамануджанский журнал, 4: 41–42, Дои:10.1023 / А: 1009873805276.
  • Брокар, Х. (1876 г.), «Вопрос 166», Nouv. Коррес. Математика., 2: 287.
  • Брокар, Х. (1885), «Вопрос 1532», Nouv. Анна. Математика., 4: 391.
  • Dabrowski, A. (1996), "О диофантовом уравнении Икс! + А = у2", Nieuw Arch. Виск., 14: 321–324.
  • Эпштейн, Эндрю; Гликман, Джейкоб (2020), Репозиторий C ++ Brocard на GitHub.
  • Гай, Р. К. (1994), "D25: Уравнения, включающие факториал", Нерешенные проблемы теории чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 193–194, ISBN  0-387-90593-6.
  • Лука, Флориан (2002), "Диофантово уравнение п(Икс) = п! и результат М. Оверхолта " (PDF), Glasnik Matematički, 37 (57): 269–273.
  • Матсон, Роберт (2017), «Поиск четвертого решения проблемы Брокара с использованием квадратичных остатков» (PDF), Нерешенные проблемы теории чисел, логики и криптографии.
  • Оверхольт, Мариус (1993), "Диофантово уравнение п! + 1 = м2", Бык. Лондонская математика. Soc., 25 (2): 104, Дои:10.1112 / blms / 25.2.104.

внешняя ссылка