Теорема Брунса - Википедия - Bruns theorem

Сходимость к постоянной Бруна.

В теория чисел, Теорема Бруна заявляет, что сумма взаимные из простые числа-близнецы (пара простые числа которые отличаются на 2) сходится до конечного значения, известного как Постоянная Бруна, обычно обозначаемый B₂ (последовательность A065421 в OEIS ). Теорема Бруна была доказана Вигго Брун в 1919 году, и это имеет историческое значение в введении ситовые методы.

Асимптотические оценки простых чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных простых чисел-близнецов следует из оценок плотность последовательности простых чисел-близнецов. ${ Displaystyle pi _ {2} (х)}$ обозначить количество простые числа п ≤ Икс для которого п + 2 также простое (т.е. ${ Displaystyle pi _ {2} (х)}$ это количество простых чисел-близнецов, меньшее из которых не более Икс). Тогда для Икс ≥ 3 имеем

${ displaystyle pi _ {2} (x) = O left ({ frac {x ( log log x) ^ {2}} {( log x) ^ {2}}} right). }$

То есть простые числа-близнецы встречаются реже простых чисел почти в логарифмическом множителе. Из этой границы следует, что сумма обратных чисел простых чисел-близнецов сходится, или, другими словами, простые числа-близнецы образуют небольшой набор. В явном виде сумма

${ displaystyle sum limits _ {p ,: , p + 2 in mathbb {P}} { left ({{ frac {1} {p}} + { frac {1} {p +2}}} right)} = left ({{ frac {1} {3}} + { frac {1} {5}}} right) + left ({{ frac {1} {5}} + { frac {1} {7}}} right) + left ({{ frac {1} {11}} + { frac {1} {13}}} right) + cdots}$

либо имеет конечное количество членов, либо имеет бесконечно много членов, но сходится: его значение известно как константа Бруна.

Если бы сумма расходилась, то этот факт означал бы, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов. Поскольку вместо этого сумма обратных чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно сделать вывод, что существует конечное или бесконечно много простых чисел-близнецов. Константа Бруна могла быть иррациональный номер только если простых чисел-близнецов бесконечно много.

Численные оценки

Ряд сходится крайне медленно. Томас Найсли отмечает, что после суммирования первого миллиарда (10⁹), относительная погрешность все еще составляет более 5%.^[1]

Вычисляя простые числа-близнецы до 10¹⁴ (и открывая Ошибка Pentium FDIV попутно). По точной эвристической оценке константа Бруна равна 1,902160578.^[1] Найсли расширил свои вычисления до 1,6×10¹⁵ по состоянию на 18 января 2010 г., но это не самое крупное вычисление такого типа.

В 2002, Паскаль Себах и Патрик Демичел использованы все двойные простые числа до 10¹⁶ дать оценку^[2] который B₂ ≈ 1,902160583104. Следовательно,

Последнее основано на экстраполяции суммы 1,830484424658 ... для простых чисел-близнецов меньше 10¹⁶. Доминик Клив условно показал (в неопубликованной диссертации), что B₂ <2,1754 (в предположении расширенная гипотеза Римана ). Безоговорочно показано, что B₂ < 2.347.^[3]

Также есть Константа Бруна для простых четверок. А простая четверка представляет собой пару двух простых пар близнецов, разделенных расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Первые простые четверки - это (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для простых четверок, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел всех простых четверок:

${ displaystyle B_ {4} = left ({ frac {1} {5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {11}} + { frac {1}) {13}} right) + left ({ frac {1} {11}} + { frac {1} {13}} + { frac {1} {17}} + { frac {1} {19}} right) + left ({ frac {1} {101}} + { frac {1} {103}} + { frac {1} {107}} + { frac {1} {109}} right) + cdots}$

со значением:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, диапазон ошибок имеет уровень достоверности 99% согласно Nicely.^[1]

Эту константу не следует путать с Постоянная Бруна для кузен простые, как простые пары вида (п, п + 4), который также записывается как B₄. Вольф получил оценку сумм типа Бруна B_п из 4 /п.

Дальнейшие результаты

Позволять ${ Displaystyle C_ {2} = 0,6601 ldots}$ (последовательность A005597 в OEIS ) быть двойная простая константа. Тогда предполагается, что

${ displaystyle pi _ {2} (x) sim 2C_ {2} { frac {x} {( log x) ^ {2}}}.}$

Особенно,

${ displaystyle pi _ {2} (x) <(2C_ {2} + varepsilon) { frac {x} {( log x) ^ {2}}}}$

для каждого ${ displaystyle varepsilon> 0}$ и все достаточно большие Икс.

Доказано множество частных случаев перечисленного. Совсем недавно Цзе Ву доказал, что для достаточно больших Икс,

${ displaystyle pi _ {2} (x) <4.5 { frac {x} {( log x) ^ {2}}}}$

где 4,5 соответствует ${ displaystyle varepsilon приблизительно 3,18}$ в приведенном выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна использовались при ставке 1 902 160 540 долларов в Nortel патентный аукцион. Ставка была размещена Google и была одной из трех ставок Google, основанных на математических константах.^[4]

Смотрите также

• Расхождение суммы обратных простых чисел
• Константа Мейселя – Мертенса

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Константа Бруна". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бруна». MathWorld.
• Постоянная Бруна в PlanetMath.
• Себах, Паскаль и Ксавье Гурдон, Введение в простые числа-близнецы и вычисление констант Бруна, 2002. Современное детальное исследование.
• Статья Вольфа о суммах типа Бруна