Теорема Брунса - Википедия - Bruns theorem

Сходимость к постоянной Бруна.

В теория чисел, Теорема Бруна заявляет, что сумма взаимные из простые числа-близнецы (пара простые числа которые отличаются на 2) сходится до конечного значения, известного как Постоянная Бруна, обычно обозначаемый B2 (последовательность A065421 в OEIS ). Теорема Бруна была доказана Вигго Брун в 1919 году, и это имеет историческое значение в введении ситовые методы.

Асимптотические оценки простых чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных простых чисел-близнецов следует из оценок плотность последовательности простых чисел-близнецов. обозначить количество простые числа пИкс для которого п + 2 также простое (т.е. это количество простых чисел-близнецов, меньшее из которых не более Икс). Тогда для Икс ≥ 3 имеем

То есть простые числа-близнецы встречаются реже простых чисел почти в логарифмическом множителе. Из этой границы следует, что сумма обратных чисел простых чисел-близнецов сходится, или, другими словами, простые числа-близнецы образуют небольшой набор. В явном виде сумма

либо имеет конечное количество членов, либо имеет бесконечно много членов, но сходится: его значение известно как константа Бруна.

Если бы сумма расходилась, то этот факт означал бы, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов. Поскольку вместо этого сумма обратных чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно сделать вывод, что существует конечное или бесконечно много простых чисел-близнецов. Константа Бруна могла быть иррациональный номер только если простых чисел-близнецов бесконечно много.

Численные оценки

Ряд сходится крайне медленно. Томас Найсли отмечает, что после суммирования первого миллиарда (109), относительная погрешность все еще составляет более 5%.[1]

Вычисляя простые числа-близнецы до 1014 (и открывая Ошибка Pentium FDIV попутно). По точной эвристической оценке константа Бруна равна 1,902160578.[1] Найсли расширил свои вычисления до 1,6×1015 по состоянию на 18 января 2010 г., но это не самое крупное вычисление такого типа.

В 2002, Паскаль Себах и Патрик Демичел использованы все двойные простые числа до 1016 дать оценку[2] который B2 ≈ 1,902160583104. Следовательно,

ГодB2# близнецов
используемые простые числа
к
19761.9021605401×1011Brent
19961.9021605781×1014Мило
20021.9021605831041×1016Себах и Демишель

Последнее основано на экстраполяции суммы 1,830484424658 ... для простых чисел-близнецов меньше 1016. Доминик Клив условно показал (в неопубликованной диссертации), что B2 <2,1754 (в предположении расширенная гипотеза Римана ). Безоговорочно показано, что B2 < 2.347.[3]

Также есть Константа Бруна для простых четверок. А простая четверка представляет собой пару двух простых пар близнецов, разделенных расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Первые простые четверки - это (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для простых четверок, обозначаемая B4, является суммой обратных чисел всех простых четверок:

со значением:

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, диапазон ошибок имеет уровень достоверности 99% согласно Nicely.[1]

Эту константу не следует путать с Постоянная Бруна для кузен простые, как простые пары вида (пп + 4), который также записывается как B4. Вольф получил оценку сумм типа Бруна Bп из 4 /п.

Дальнейшие результаты

Позволять (последовательность A005597 в OEIS ) быть двойная простая константа. Тогда предполагается, что

Особенно,

для каждого и все достаточно большие Икс.

Доказано множество частных случаев перечисленного. Совсем недавно Цзе Ву доказал, что для достаточно больших Икс,

где 4,5 соответствует в приведенном выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна использовались при ставке 1 902 160 540 долларов в Nortel патентный аукцион. Ставка была размещена Google и была одной из трех ставок Google, основанных на математических константах.[4]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c Хорошо, Томас Р. (18 января 2010 г.). "Перечисление 1,6 * 10 ^ 15 простых чисел-близнецов и константы Бруна". Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел (вычислительная теория чисел). Архивировано из оригинал 8 декабря 2013 г.. Получено 16 февраля 2010.
  2. ^ Себах, Паскаль; Гурдон, Ксавье. «Введение в простые числа-близнецы и постоянное вычисление Бруна». CiteSeerX  10.1.1.464.1118. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  3. ^ Кливе, Доминик. «Явные оценки простых чисел-близнецов и константы Бруна». Получено 13 мая 2015.
  4. ^ Дамуни, Надя (1 июля 2011 г.). "Dealtalk: Google сделал ставку" пи "за патенты Nortel и проиграл". Рейтер. Получено 6 июля 2011.

Рекомендации

внешняя ссылка