Частота Бранта – Вяйсяля - Brunt–Väisälä frequency

В атмосферная динамика, океанография, астросейсмология и геофизика, то Частота Бранта – Вяйсяля, или же плавучесть частота, является мерой устойчивости жидкости к вертикальным смещениям, например, вызванным конвекция. Точнее, это частота, с которой вертикально смещенный участок будет колебаться в статически стабильной среде. Он назван в честь Дэвид Брант и Вилхо Вяйсяля. Его можно использовать как меру стратификации атмосферы.

Вывод для общей жидкости

Рассмотрим участок воды или газа с плотностью ${ displaystyle rho _ {0}}$. Этот участок находится в среде других частиц воды или газа, где плотность среды является функцией высоты: ${ Displaystyle rho = rho (z)}$. Если участок смещен на небольшой вертикальный прирост ${ displaystyle z '}$, и он сохраняет свою первоначальную плотность, так что его объем не меняется, он будет подвергаться дополнительной гравитационной силе против своего окружения:

${ displaystyle rho _ {0} { frac { partial ^ {2} z '} { partial t ^ {2}}} = - g left [ rho (z) - rho (z + z ')верно]}$

${ displaystyle g}$ - ускорение свободного падения, и определяется как положительное. Мы делаем линейное приближение к ${ Displaystyle rho (z + z ') - rho (z) = { frac { partial rho (z)} { partial z}} z'}$, и двигаться ${ displaystyle rho _ {0}}$ к правому краю:

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} z '} { partial t ^ {2}}} = { frac {g} { rho _ {0}}} { frac { partial rho (z)} { partial z}} z '}$

Вышеупомянутый второй порядок дифференциальное уравнение имеет простые решения:

${ displaystyle z '= z' _ {0} e ^ {i { sqrt {N ^ {2}}} t} !}$

где частота Бранта – Вяйсяля ${ displaystyle N}$ является:^[1]

${ displaystyle N = { sqrt {- { frac {g} { rho _ {0}}} { frac { partial rho (z)} { partial z}}}}}$

Для отрицательных ${ Displaystyle { frac { partial rho (z)} { partial z}}}$, смещение ${ displaystyle z '}$ имеет колеблющиеся решения (а N дает нашу угловую частоту). Если он положительный, то есть неконтролируемый рост - т.е. жидкость статически нестабильна.

В метеорологии и астрофизике

Для газового пакета плотность останется неизменной, как предполагалось в предыдущем выводе, только если давление ${ displaystyle P}$, постоянна с высотой, что неверно в атмосфере, ограниченной гравитацией. Вместо этого пакет будет адиабатически расширяться по мере снижения давления. Поэтому в метеорологии используется более общая формулировка:

${ displaystyle N Equiv { sqrt {{ frac {g} { theta}} { frac {d theta} {dz}}}}}$, куда ${ displaystyle theta}$ является потенциальная температура, ${ displaystyle g}$ это локальное ускорение сила тяжести, и ${ displaystyle z}$ является геометрическая высота.^[2]

С ${ displaystyle theta = T (P_ {0} / P) ^ {R / c_ {P}}}$, куда ${ displaystyle P_ {0}}$ - постоянное эталонное давление, для идеального газа это выражение эквивалентно:

${ displaystyle N ^ {2} Equiv g left {{ frac {1} {T}} { frac {dT} {dz}} - { frac {R} {c_ {P}}} { frac {1} {P}} { frac {dP} {dz}} right } = g left {{ frac {1} {T}} { frac {dT} {dz}} - { frac { gamma -1} { gamma}} { frac {1} {P}} { frac {dP} {dz}} right }}$,

где в последней форме ${ displaystyle gamma = c_ {P} / c_ {V}}$, то индекс адиабаты. С использованием закон идеального газа, мы можем исключить температуру, чтобы выразить ${ displaystyle N ^ {2}}$ по давлению и плотности:

${ Displaystyle N ^ {2} Equiv g left {{ frac {1} { gamma}} { frac {1} {P}} { frac {dP} {dz}} - { frac {1} { rho}} { frac {d rho} {dz}} - right } = g left {{ frac {1} { gamma}} { frac {d ln P } {dz}} - { frac {d ln rho} {dz}} right }}$.

Эта версия на самом деле является более общей, чем первая, поскольку она применяется, когда химический состав газа изменяется с высотой, а также для несовершенных газов с переменным индексом адиабаты, и в этом случае ${ Displaystyle гамма эквив гамма _ {01} = ( partial ln P / partial ln rho) _ {S}}$, т.е. производная берется при постоянном энтропия, ${ displaystyle S}$.^[3]

Если газовый пакет толкается и ${ displaystyle N ^ {2}> 0}$, воздушная посылка будет двигаться вверх и вниз по высоте, на которой плотность посылки соответствует плотности окружающего воздуха. Если воздушная посылка задвинута вверх и ${ displaystyle N ^ {2} = 0}$, воздушная посылка дальше двигаться не будет. Если воздушная посылка задвинута вверх и ${ displaystyle N ^ {2} <0}$, (т.е. частота Бранта – Вяйсяля является мнимой), то воздушная посылка будет подниматься и подниматься, если только ${ displaystyle N ^ {2}}$ становится положительным или снова становится нулевым выше в атмосфере. На практике это приводит к конвекции, и, следовательно, Критерий Шварцшильда для устойчивости к конвекции (или Критерий Леду если есть композиционная стратификация) эквивалентно утверждению, что ${ displaystyle N ^ {2}}$ должен быть положительным.

Частота Бранта – Вяйсяля обычно фигурирует в уравнениях термодинамики для атмосферы и в структуре звезд.

В океанографии

в океан куда соленость важно, или в пресноводных озерах, близких к замерзанию, где плотность не является линейной функцией температуры,

${ Displaystyle N Equiv { sqrt {- { frac {g} { rho}} { frac {d rho} {dz}}}}}$, куда ${ displaystyle rho}$, то потенциальная плотность, зависит как от температуры, так и от солености.

Пример колебания Бранта – Вяйсяля в стратифицированной по плотности жидкости можно наблюдать в фильме «Волшебная пробка». Вот .

Контекст

Эта концепция происходит из Второго закона Ньютона, когда он применяется к пакету жидкости в присутствии фоновой стратификации (в которой плотность изменяется по вертикали, то есть можно сказать, что плотность имеет несколько вертикальных слоев). Посылка, смещенная по вертикали из исходного положения, испытывает вертикальное ускорение. Если ускорение возвращается к исходному положению, расслоение считается стабильным, и посылка колеблется вертикально. В этом случае, N² > 0 и угловая частота колебания дано N. Если ускорение далеко от исходного положения (N² < 0) стратификация неустойчива. В этом случае обычно возникает переворачивание или конвекция.

Частота Бранта – Вяйсяля относится к внутренние гравитационные волны: это частота, когда волны распространяются горизонтально; и это дает полезное описание стабильности атмосферы и океана.

Смотрите также

• Плавучесть
• Ячейка Бенара

Рекомендации