Цис (математика) - Википедия - cis (mathematics)

Эта статья может содержать чрезмерное количество цитирований. Пожалуйста примите к сведению удаление ссылок на ненужные или сомнительные источники, объединение цитат где возможно, или, если необходимо, пометить контент для удаления. (Декабрь 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

СНГ реже используется математическая запись определяется СНГ Икс = cos Икс + я грех Икс,^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][чрезмерное цитирование ]} куда потому что это косинус функция я это мнимая единица и грех это синус функция. Обозначения используются реже, чем Формула Эйлера, е^ix, который предлагает еще более короткие и общие обозначения для потому что Икс + я грех Икс.

Обзор

В СНГ обозначение было впервые введено Уильям Роуэн Гамильтон в Элементы кватернионов (1866)^[10][11] и впоследствии использовался Ирвинг Стрингхэм в таких произведениях, как Одноплоскостная алгебра (1893),^[12][13] или по Джеймс Харкнесс и Фрэнк Морли в их Введение в теорию аналитических функций (1898).^[13][14] Он соединяет тригонометрические функции с экспоненциальные функции в комплексная плоскость через Формула Эйлера.

В основном он используется как удобная сокращенная запись для упрощения некоторых выражений,^{[10][12][3][15][16]} например в сочетании с Фурье и Хартли преобразовывает,^[2][6][7] или когда экспоненциальные функции по какой-либо причине не следует использовать в математическом образовании.

В информационных технологиях функция видит специальную поддержку в различных высокопроизводительных математических библиотеках (например, Intel с Математическая библиотека ядра (MKL)^[17]), доступный для многих компиляторов, языков программирования (включая C, C ++,^[18] Common Lisp,^[19][20] D,^[21] Фортран,^[22] Haskell,^[23] Юля^[24]) и операционные системы (включая Windows, Linux,^[22] macOS и HP-UX^[25]). В зависимости от платформы объединенная операция примерно в два раза быстрее, чем индивидуальный вызов функций синуса и косинуса.^[21][26]

Связь с комплексной экспоненциальной функцией

В комплексная экспоненциальная функция можно выразить

${ Displaystyle е ^ {ix} = соз х + я грех х,}$^[1]

${ Displaystyle е ^ {- ix} = соз (-x) + я грех (-x) = соз х-я грех х}$

${ Displaystyle е ^ {я pi} = - 1}$

${ Displaystyle соз х = { гидроразрыва {е ^ {ix} + е ^ {- ix}} {2}}}$

${ displaystyle sin x = { гидроразрыва {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}}}$

куда я² = −1.

Это также можно выразить с помощью следующих обозначений

${ Displaystyle OperatorName {цис} х = соз х + я грех х,}$^[1][4][26]

т.е. "СНГ"аббревиатуры"cos + я грех".

Хотя на первый взгляд это обозначение излишне, оно эквивалентно е^ix, его использование имеет ряд преимуществ, таких как прямая привязка к полярной форме комплексного числа (и более легкое понимание).

Математические тождества

Производная

${ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} z}} operatorname {cis} z = i operatorname {cis} z = ie ^ {iz}}$^[1][27]

интеграл

${ displaystyle int operatorname {cis} z , mathrm {d} z = -i operatorname {cis} z = -ie ^ {iz}}$^[1]

Другие свойства

Они следуют непосредственно из Формула Эйлера.

${ displaystyle operatorname {cis} (x + y) = operatorname {cis} x , operatorname {cis} y}$^[28]

${ displaystyle operatorname {cis} (x-y) = { operatorname {cis} x over operatorname {cis} y}}$

Приведенные выше тождества верны, если Икс и у любые комплексные числа. Если Икс и у реальны, тогда

${ displaystyle | operatorname {cis} x- operatorname {cis} y | leq | x-y |.}$^[28]

История

Эти обозначения были более распространены в эпоху после Второй мировой войны, когда пишущие машинки использовались для передачи математических выражений.

Верхние индексы смещены по вертикали и меньше 'СНГ' или же 'exp'; следовательно, они могут быть проблематичными даже для рукописного ввода, например, е^ix2 против цис (Икс²) или же ехр (ix²). Для многих читателей цис (Икс²) - самый ясный и легкий для чтения из трех.^{[нужна цитата ]}

В СНГ нотация иногда используется, чтобы подчеркнуть один метод рассмотрения и решения проблемы по сравнению с другим.^[29] Математика тригонометрии и экспонент связаны, но не совсем одинаковы; экспоненциальная запись подчеркивает целое, тогда как СНГ Икс и потому что Икс + я грех Икс обозначения подчеркивают части. Это может быть риторически полезно математикам и инженерам при обсуждении этой функции, а также служить мнемонический (за cos + я грех).

В СНГ нотация удобна для студентов-математиков, чьи знания тригонометрии и комплексных чисел допускают эту нотацию, но чье концептуальное понимание еще не позволяет использовать нотацию е^ix. По мере того как учащиеся изучают концепции, основанные на предшествующих знаниях, важно не заставлять их усваивать математические уровни, к которым они еще не готовы: обычное доказательство того, что СНГ Икс = е^ix требует исчисление, который студент, возможно, не изучал до того, как встретил выражение потому что Икс + я грех Икс.

В 1942 году вдохновленный СНГ обозначение Ральф В. Л. Хартли представил cas (за косинус-синус) функция для вещественнозначных Ядро Хартли, тем временем созданный ярлык в сочетании с Хартли преобразовывает:^[30][31]

${ displaystyle operatorname {cas} x = cos x + sin x.}$

Смотрите также

• Формула де Муавра
• Формула Эйлера
• Комплексное число
• Теорема Птолемея
• Фазор
• Versor

Рекомендации