Теорема о ядре Каратеодори - Carathéodory kernel theorem

В математика, то Теорема о ядре Каратеодори это результат комплексный анализ и геометрическая теория функций установлен греческим математиком Константин Каратеодори в 1912 году. равномерное схождение на компактах последовательности голоморфный однолистные функции, определенные на единичный диск в комплексная плоскость и фиксируя 0, можно сформулировать чисто геометрически в терминах предельного поведения образов функций. Теорема о ядре имеет широкое применение в теории однолистных функций и, в частности, обеспечивает геометрическую основу для Дифференциальное уравнение Лёвнера.

Ядро последовательности открытых множеств

Позволять U_п последовательность открытых множеств в C содержащий 0. Пусть V_п быть связным компонентом интерьераU_п ∩ U_{п + 1} ∩ ... содержащий 0. ядро последовательности определяется как объединение V_п's, если оно не пусто; в противном случае он определяется как ${ displaystyle {0 }}$ . Таким образом, ядро представляет собой либо связное открытое множество, содержащее 0, либо одноточечное множество ${ displaystyle {0 }}$ . Говорят, что последовательность сходится к ядру, если каждая подпоследовательность имеет одно и то же ядро.

Примеры

Если U_п - возрастающая последовательность связанных открытых множеств, содержащая 0, то ядро - это просто объединение.
Если U_п - убывающая последовательность связанных открытых множеств, содержащая 0, то, если 0 - внутренняя точка U₁ ∩ U₂ ∩ ..., последовательность сходится к компоненту внутренней части, содержащей 0. В противном случае, если 0 не является внутренней точкой, последовательность сходится к ${ displaystyle {0 }}$ .

Теорема ядра

Позволять ж_п(z) - последовательность голоморфный однолистные функции на единичном диске D, нормализованная так, чтобы ж_п(0) = 0 и ж '_п (0)> 0. Тогда ж_п сходится равномерно на компактах в D к функции ж если и только если U_п = ж_п(D) сходится к своему ядру, и это ядро не C. Если ядро ${ displaystyle {0 }}$ , тогда ж = 0. В противном случае ядро представляет собой связное открытое множество. U, ж однозначно на D и ж(D) = U.

Доказательство

С помощью Теорема Гурвица и Теорема Монтеля, несложно проверить, что если ж_п равномерно стремится на компакте к ж то каждая подпоследовательность U_п есть ядро U = ж(D).

И наоборот, если U_п сходится к ядру, не равному C, то по Теорема Кёбе о четверти U_п содержит диск радиуса ж '_п(0) / 4 с центром 0. Предположение, что U ≠ C означает, что эти радиусы равномерно ограничены. Посредством Теорема Кебе об искажении

{ displaystyle | f_ {n} (z) | leq f_ {n} ^ { prime} (0) {| z | over (1- | z |) ^ {2}}.}

Следовательно, последовательность ж_п равномерно ограничена на компактах. Если две подпоследовательности сходятся к голоморфным пределам ж и грамм, тогда ж(0) = грамм(0) и с ж'(0), грамм'(0) ≥ 0. Из первой части и предположений следует, что ж(D) = грамм(D). Уникальность в Теорема римана отображения силы ж = грамм, поэтому исходная последовательность ж_п сходится равномерно на компактах.

Теорема о ядре Каратеодори - Carathéodory kernel theorem

Содержание

Ядро последовательности открытых множеств

Теорема ядра

Доказательство

Рекомендации