Вириальные уравнения Чандрасекара - Chandrasekhar virial equations

В астрофизика, то Вириальные уравнения Чандрасекара представляют собой иерархию момент уравнения Уравнения Эйлера, разработанная Индийский американец астрофизик Субраманян Чандрасекар, а физик Энрико Ферми и Норман Р. Лебовиц.^[1]^[2]^[3]

Математическое описание

Рассмотрим жидкую массу ${ displaystyle M}$ объема ${ displaystyle V}$ с плотность ${ Displaystyle rho ( mathbf {х}, т)}$ и изотропное давление ${ Displaystyle р ( mathbf {х}, т)}$ с исчезающим давлением на ограничивающих поверхностях. Здесь, ${ displaystyle mathbf {x}}$ относится к системе отсчета, прикрепленной к центру масс. Прежде чем описывать вириальные уравнения, давайте определим некоторые моменты.

Моменты плотности определяются как

{ Displaystyle M = int _ {V} rho , d mathbf {x}, quad I_ {i} = int _ {V} rho x_ {i} , d mathbf {x}, quad I_ {ij} = int _ {V} rho x_ {i} x_ {j} , d mathbf {x}, quad I_ {ijk} = int _ {V} rho x_ {i } x_ {j} x_ {k} , d mathbf {x}, quad I_ {ijk ell} = int _ {V} rho x_ {i} x_ {j} x_ {k} x _ { ell} , d mathbf {x}, quad { text {и т. д.}}}

моменты давления

{ displaystyle Pi = int _ {V} p , d mathbf {x}, quad Pi _ {i} = int _ {V} px_ {i} , d mathbf {x}, quad Pi _ {ij} = int _ {V} px_ {i} x_ {j} , d mathbf {x}, quad Pi _ {ijk} = int _ {V} px_ {i } x_ {j} x_ {k} d mathbf {x} quad { text {и т. д.}}}

моменты кинетической энергии равны

{ displaystyle T_ {ij} = { frac {1} {2}} int _ {V} rho u_ {i} u_ {j} , d mathbf {x}, quad T_ {ij; k } = { frac {1} {2}} int _ {V} rho u_ {i} u_ {j} x_ {k} , d mathbf {x}, quad T_ {ij; k ell } = { frac {1} {2}} int _ {V} rho u_ {i} u_ {j} x_ {k} x _ { ell} , d mathbf {x}, quad mathrm {так далее.} }

и Тензор потенциальной энергии Чандрасекара моменты

{ displaystyle W_ {ij} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} , d mathbf {x}, quad W_ {ij; k} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} x_ {k} , d mathbf {x}, quad W_ {ij; k ell} = - { frac {1} {2}} int _ {V} rho Phi _ {ij} x_ {k} x _ { ell} d mathbf {x}, quad mathrm {etc.} quad { text {где}} quad Phi _ {ij} = G int _ {V} rho ( mathbf {x '}) { frac {(x_ {i} -x_ {i}') (x_ {j} -x_ {j} ')} {| mathbf {x} - mathbf {x'} | ^ {3}}} , d mathbf {x '}}

куда ${ displaystyle G}$ это гравитационная постоянная.

Все тензоры по определению симметричны. Момент инерции ${ displaystyle I}$ , кинетическая энергия ${ displaystyle T}$ и потенциальная энергия ${ displaystyle W}$ являются просто следами следующих тензоров

{ Displaystyle I = I_ {ii} = int _ {V} rho | mathbf {x} | ^ {2} , d mathbf {x}, quad T = T_ {ii} = { frac {1} {2}} int _ {V} rho | mathbf {u} | ^ {2} , d mathbf {x}, quad W = W_ {ii} = - { frac {1 } {2}} int _ {V} rho Phi , d mathbf {x} quad { text {where}} quad Phi = Phi _ {ii} = int _ {V} { гидроразрыв { rho ( mathbf {x '})} {| mathbf {x} - mathbf {x'} |}} , d mathbf {x '}}

Чандрасекхар предполагается, что на массу жидкости действует сила давления и собственная гравитационная сила, то Уравнения Эйлера является

{ displaystyle rho { frac {du_ {i}} {dt}} = - { frac { partial p} { partial x_ {i}}} + rho { frac { partial Phi} { partial x_ {i}}}, quad { text {where}} quad { frac {d} {dt}} = { frac { partial} { partial t}} + u_ {j} { frac { partial} { partial x_ {j}}}}

Вириальное уравнение первого порядка

{ displaystyle { frac {d ^ {2} I_ {i}} {dt ^ {2}}} = 0}

Вириальное уравнение второго порядка

{ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {d ^ {2} I_ {ij}} {dt ^ {2}}} = 2T_ {ij} + W_ {ij} + delta _ { ij} Pi}

В установившемся состоянии уравнение принимает вид

{ displaystyle 2T_ {ij} + W_ {ij} = - delta _ {ij} Pi}

Вириальное уравнение третьего порядка

{ displaystyle { frac {1} {6}} { frac {d ^ {2} I_ {ijk}} {dt ^ {2}}} = 2 (T_ {ij; k} + T_ {jk; i } + T_ {ki; j}) + W_ {ij; k} + W_ {jk; i} + W_ {ki; j} + delta _ {ij} Pi _ {k} + delta _ {jk} Pi _ {i} + delta _ {ki} Pi _ {j}}

В установившемся состоянии уравнение принимает вид

{ displaystyle 2 (T_ {ij; k} + T_ {ik; j}) + W_ {ij; k} + W_ {ik; j} = - delta _ {ij} Pi _ {K} - delta _ {ik} Pi _ {j}}

Вириальные уравнения во вращающейся системе отсчета

В Уравнения Эйлера во вращающейся системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ${ displaystyle mathbf { Omega}}$ дан кем-то

{ displaystyle rho { frac {du_ {i}} {dt}} = - { frac { partial p} { partial x_ {i}}} + rho { frac { partial Phi} { partial x_ {i}}} + { frac {1} {2}} rho { frac { partial} { partial x_ {i}}} | mathbf { Omega} times mathbf {x } | ^ {2} +2 rho varepsilon _ {i ell m} u _ { ell} Omega _ {m}}

куда ${ displaystyle varepsilon _ {я ell m}}$ это Символ Леви-Чивита, ${ displaystyle { frac {1} {2}} | mathbf { Omega} times mathbf {x} | ^ {2}}$ это центробежное ускорение и ${ displaystyle 2 mathbf {u} times mathbf { Omega}}$ это Кориолисовое ускорение.

Стационарное вириальное уравнение второго порядка

В установившемся режиме вириальное уравнение второго порядка принимает вид

{ displaystyle 2T_ {ij} + W_ {ij} + Omega ^ {2} I_ {ij} - Omega _ {i} Omega _ {k} I_ {kj} +2 epsilon _ {i ell m } Omega _ {m} int _ {V} rho u _ { ell} x_ {j} , d mathbf {x} = - delta _ {ij} Pi}

Если ось вращения выбрана в ${ displaystyle x_ {3}}$ направление, уравнение становится

{ displaystyle W_ {ij} + Omega ^ {2} (I_ {ij} - delta _ {i3} I_ {3j}) = - delta _ {ij} Pi}

и Чандрасекар показывает, что в этом случае тензоры могут принимать только следующий вид

{ displaystyle W_ {ij} = { begin {pmatrix} W_ {11} & W_ {12} & 0 W_ {21} & W_ {22} & 0 0 & 0 & W_ {33} end {pmatrix}}, quad I_ {ij} = { begin {pmatrix} I_ {11} & I_ {12} & 0 I_ {21} & I_ {22} & 0 0 & 0 & I_ {33} end {pmatrix}}}

Стационарное вириальное уравнение третьего порядка

В установившемся режиме вириальное уравнение третьего порядка принимает вид

{ displaystyle 2 (T_ {ij; k} + T_ {ik; j}) + W_ {ij; k} + W_ {ik; j} + Omega ^ {2} I_ {ijk} - Omega _ {i } Omega _ { ell} I _ { ell jk} +2 varepsilon _ {i ell m} Omega _ {m} int _ {V} rho u _ { ell} x_ {j} x_ { k} , d mathbf {x} = - delta _ {ij} Pi _ {k} - delta _ {ik} Pi _ {j}}

Если ось вращения выбрана в ${ displaystyle x_ {3}}$ направление, уравнение становится

{ displaystyle W_ {ij; k} + W_ {ik; j} + Omega ^ {2} (I_ {ijk} - delta _ {i3} I_ {3jk}) = - ( delta _ {ij} Pi _ {k} + delta _ {ik} Pi _ {j})}

Стационарное вириальное уравнение четвертого порядка

С ${ displaystyle x_ {3}}$ будучи осью вращения, стационарное вириальное уравнение четвертого порядка также получено Чандрасекаром в 1968 году.^[4] Уравнение читается как

{ displaystyle { frac {1} {3}} (2W_ {ij; kl} + 2W_ {ik; lj} + 2W_ {il; jk} + W_ {ij; k; l} + W_ {ik; l; j} + W_ {il; j; k}) + Omega ^ {2} (I_ {ijkl} - delta _ {i3} I_ {3jkl}) = - ( delta _ {ij} Pi _ {kl } + delta _ {ik} Pi _ {lj} + delta _ {il} Pi _ {jk})}

Вириальные уравнения с вязкими напряжениями

Рассмотрим Уравнения Навье-Стокса вместо Уравнения Эйлера,

{ displaystyle rho { frac {du_ {i}} {dt}} = - { frac { partial p} { partial x_ {i}}} + rho { frac { partial Phi} { partial x_ {i}}} + { frac { partial tau _ {ik}} { partial x_ {k}}}, quad { text {where}} quad tau _ {ik} = rho nu left ({ frac { partial u_ {i}} { partial x_ {k}}} + { frac { partial u_ {k}} { partial x_ {i}}}} - { frac {2} {3}} { frac { partial u_ {l}} { partial x_ {l}}} delta _ {ik} right)}

и определим тензор энергии сдвига как

{ displaystyle S_ {ij} = int _ {V} tau _ {ij} d mathbf {x}.}

С условием обращения в нуль нормальной составляющей полного напряжения на свободной поверхности, т. Е. ${ displaystyle (-p delta _ {ik} + tau _ {ik}) n_ {k} = 0}$ , куда ${ Displaystyle mathbf {п}}$ - внешняя единичная нормаль, тогда вириальное уравнение второго порядка будет

{ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {d ^ {2} I_ {ij}} {dt ^ {2}}} = 2T_ {ij} + W_ {ij} + delta _ { ij} Pi -S_ {ij}.}

Это можно легко расширить до вращающейся системы ссылок.