В уравнения коллинеарности представляют собой систему двух уравнений, используемых в фотограмметрия и компьютерное стереозрение, чтобы связать координаты в датчик плоскость (в двух измерениях) в координаты объекта (в трех измерениях). Уравнения происходят из центральная проекция точки объект сквозь оптический центр из камера к изображению на плоскости сенсора.[1]
Три точки P, Q и R проецируются на плоскость S через центр проекции C.
Ось x и z проекции точки P через центр проекции C
Определение
Пусть x, y и z относятся к система координат с осями x и y в плоскости датчика. Обозначим координаты точки P на объекте как
, координаты точки изображения P на плоскости датчика на Икс и у а координаты проекционного (оптического) центра - на
. Как следствие метода проецирования есть такие же фиксированные соотношение
между
и
,
и
, а расстояние от центра проекции до плоскости датчика
и
. Отсюда:
![{ displaystyle x-x_ {0} = - lambda (x_ {P} -x_ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ea94f109ec60e00c09451a14d69c801892755c)
![{ displaystyle y-y_ {0} = - lambda (y_ {P} -y_ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a917fc1d4bb94303151c30adc7856bcc4554b9bb)
![{ displaystyle c = lambda (z_ {P} -z_ {0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1746a0a63e50b0e719fd3581192c74a04382c4)
Решение для
в последнем уравнении и ввод его в другие дает:
![{ displaystyle x-x_ {0} = - c { frac {x_ {P} -x_ {0}} {z_ {P} -z_ {0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a191151053f883bc16b6bf9f7bb1086a351f8b9)
![{ displaystyle y-y_ {0} = - c { frac {y_ {P} -y_ {0}} {z_ {P} -z_ {0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f975cd725f76289daab90f77caf8701a87e115)
Точка P обычно задается в некоторой системе координат "вне" камеры через координаты Икс, Y и Z, а центр проекции - на
. Эти координаты могут быть преобразованы через вращение и перевод к системе на камере. Перевод не влияет на разницу координат, а вращение, часто называемое преобразование камеры, задается 3 × 3-матрица р, преобразование
в:
![{ displaystyle x_ {P} -x_ {0} = R_ {11} (X-X_ {0}) + R_ {21} (Y-Y_ {0}) + R_ {31} (Z-Z_ {0} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66da5e50d338b3844c1ff4bab01ef7af1abb20c8)
![{ displaystyle y_ {P} -y_ {0} = R_ {12} (X-X_ {0}) + R_ {22} (Y-Y_ {0}) + R_ {32} (Z-Z_ {0} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8844c0ff908517ab7911e18f8d01a7b75aef191)
и
![{ displaystyle z_ {P} -z_ {0} = R_ {13} (X-X_ {0}) + R_ {23} (Y-Y_ {0}) + R_ {33} (Z-Z_ {0} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538236958f65984df16be62ca659be9d8189c946)
Подстановка этих выражений приводит к набору двух уравнений, известных как уравнения коллинеарности:
![{ displaystyle x-x_ {0} = - c { frac {R_ {11} (X-X_ {0}) + R_ {21} (Y-Y_ {0}) + R_ {31} (Z- Z_ {0})} {R_ {13} (X-X_ {0}) + R_ {23} (Y-Y_ {0}) + R_ {33} (Z-Z_ {0})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81889034b774b61b965ac99504c77e482191d8f)
![{ displaystyle y-y_ {0} = - c { frac {R_ {12} (X-X_ {0}) + R_ {22} (Y-Y_ {0}) + R_ {32} (Z- Z_ {0})} {R_ {13} (X-X_ {0}) + R_ {23} (Y-Y_ {0}) + R_ {33} (Z-Z_ {0})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f91fd9b3d1ea057d06c950b5813d55221e0e5e)
Наиболее очевидное использование этих уравнений - для изображений, записанных камерой. В этом случае уравнение описывает преобразования из пространства объекта (X, Y, Z) в координаты изображения (x, y). Он составляет основу уравнений, используемых в регулировка связки. Они указывают на то, что точка изображения (на сенсорной пластине камеры), наблюдаемая точка (на объекте) и центр проекции камеры были совмещены при съемке изображения.
Смотрите также
использованная литература