Доверительный регион - Confidence region

В статистика, а область доверия является многомерным обобщением доверительный интервал. Это набор точек в п-мерное пространство, часто представляемое как эллипсоид вокруг точки, которая является приблизительным решением проблемы, хотя могут встречаться и другие формы.

Интерпретация

Доверительный интервал вычисляется таким образом, что если бы набор измерений повторялся много раз и доверительный интервал вычислялся бы одинаково для каждого набора измерений, то в определенном процентном соотношении (например, 95%) доверительный интервал был бы включите точку, представляющую "истинные" значения набора оцениваемых переменных. Однако если определенные предположения о априорные вероятности сделаны, это делает нет означает, что при вычислении одной доверительной области существует 95% -ная вероятность того, что "истинные" значения лежат внутри области, поскольку мы не предполагаем какого-либо конкретного распределения вероятностей "истинных" значений, и мы можем иметь или не иметь другая информация о том, где они могут солгать.

Случай независимых, одинаково нормально распределенных ошибок

Предположим, мы нашли решение ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ к следующей переопределенной проблеме:

${ displaystyle mathbf {Y} = mathbf {X} { boldsymbol { beta}} + { boldsymbol { varepsilon}}}$

где Y является п-мерный вектор-столбец, содержащий наблюдаемые значения зависимая переменная, Икс является п-от-п матрица наблюдаемых значений независимые переменные (которая может представлять физическую модель), которая считается точно известной, ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ вектор-столбец, содержащий п параметры, которые необходимо оценить, и ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ является п-мерный вектор-столбец ошибок, которые считаются равными независимо распределенный с нормальные распределения с нулевым средним и каждый с той же неизвестной дисперсией ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Сустав 100 (1 -α)% доверительной области для элементов ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ представлен набором значений вектора б которые удовлетворяют следующему неравенству:^[1]

${ displaystyle ({ boldsymbol { hat { beta}}} - mathbf {b}) ^ { prime} mathbf {X} ^ { prime} mathbf {X} ({ boldsymbol { hat { beta}}} - mathbf {b}) leq ps ^ {2} F_ {1- alpha} (p, nu),}$

где переменная б представляет любую точку в доверительной области, п - количество параметров, т.е. количество элементов вектора ${ displaystyle { boldsymbol { beta}},}$ ${ displaystyle { boldsymbol { hat { beta}}}}$ - вектор оцениваемых параметров, а s² это уменьшенный хи-квадрат, объективная оценка из ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ равно

${ displaystyle s ^ {2} = { frac { varepsilon ^ { prime} varepsilon} {n-p}}.}$

В дальнейшем, F это квантильная функция из F-распределение, с участием п и ${ Displaystyle nu = п-р}$ степени свободы, ${ displaystyle alpha}$ это Статистическая значимость уровень, а символ ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ означает транспонировать из ${ displaystyle X}$.

Выражение можно переписать как:

${ displaystyle ({ boldsymbol { hat { beta}}} - mathbf {b}) ^ { prime} mathbf {C} _ { mathbf { beta}} ^ {- 1} ({ полужирный символ { hat { beta}}} - mathbf {b}) leq pF_ {1- alpha} (p, nu),}$

где ${ Displaystyle mathbf {C} _ { mathbf { beta}} = s ^ {2} left ( mathbf {X} ^ { prime} mathbf {X} right) ^ {- 1}}$ - ковариационная матрица, масштабированная методом наименьших квадратов ${ displaystyle { boldsymbol { hat { beta}}}}$.

Приведенное выше неравенство определяет эллипсоидальный регион в п-мерное декартово пространство параметров R^п. Центр эллипсоида находится по оценке ${ displaystyle { boldsymbol { hat { beta}}}}$. По словам Пресса и др., Построить эллипсоид легче после выполнения разложение по сингулярным числам. Длины осей эллипсоида пропорциональны обратным величинам значений на диагоналях диагональной матрицы, а направления этих осей задаются строками 3-й матрицы разложения.

Взвешенные и обобщенные методы наименьших квадратов

Теперь рассмотрим более общий случай, когда некоторые отдельные элементы ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ знали ненулевые ковариация (другими словами, ошибки в наблюдениях не распределяются независимо) и / или стандартные отклонения ошибок не все равны. Предположим, что ковариационная матрица ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ является ${ Displaystyle mathbf {V} sigma ^ {2}}$, где V является п-от-п невырожденная матрица, равная ${ displaystyle mathbf {I}}$ в более конкретном случае, рассмотренном в предыдущем разделе (где я это единичная матрица,) но здесь допускается ненулевое значение недиагональные элементы представляющие ковариацию пар отдельных наблюдений, а также не обязательно равные всем диагональным элементам.

Можно найти^[2] невырожденная симметричная матрица п такой, что

${ Displaystyle mathbf {P} ^ { prime} mathbf {P} = mathbf {P} mathbf {P} = mathbf {V}}$

В результате, п является квадратным корнем из ковариационной матрицы V.

Проблема наименьших квадратов

${ displaystyle mathbf {Y} = mathbf {X} { boldsymbol { beta}} + { boldsymbol { varepsilon}}}$

затем можно преобразовать, умножив каждый член слева на обратное к п, формируя новую постановку задачи

${ displaystyle mathbf {Z} = mathbf {Q} { boldsymbol { beta}} + mathbf {f},}$

где

${ Displaystyle mathbf {Z} = mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {Y}}$

${ Displaystyle mathbf {Q} = mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {X}}$ и

${ displaystyle mathbf {f} = mathbf {P} ^ {- 1} { boldsymbol { varepsilon}}}$

Совместная доверительная область для параметров, т.е. для элементов ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$, тогда ограничен эллипсоидом, задаваемым формулой:^[3]

${ displaystyle ( mathbf {b} - { boldsymbol { hat { beta}}}) ^ { prime} mathbf {Q} ^ { prime} mathbf {Q} ( mathbf {b} - { boldsymbol { hat { beta}}}) = { frac {p} {np}} ( mathbf {Z} ^ { prime} mathbf {Z} - mathbf {b} ^ { prime } mathbf {Q} ^ { prime} mathbf {Z}) F_ {1- alpha} (p, np).}$

Здесь F представляет собой процентную точку F-распространение и количества п и н-п являются степени свободы которые являются параметрами этого распределения.

Нелинейные задачи

Области достоверности могут быть определены для любого распределения вероятностей. Экспериментатор может выбрать уровень значимости и форму области, а затем размер области определяется распределением вероятностей. Естественный выбор - использовать в качестве границы набор точек с постоянным ${ displaystyle chi ^ {2}}$ (хи-квадрат ) значения.

Один из подходов заключается в использовании линейного приближения к нелинейной модели, которое может быть близким приближением в окрестности решения, а затем применить анализ для линейной задачи, чтобы найти приблизительную доверительную область. Это может быть разумным подходом, если доверительная область не очень велика и вторые производные модели также не очень велики.

Начальная загрузка также могут быть использованы подходы.^[4]

Видеть Методики количественной оценки неопределенности для прямого распространения неопределенности для связанных понятий.

Смотрите также

• Вероятна круговая ошибка
• Линейная регрессия
• Группа уверенности

Примечания

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации

• Draper, N.R .; Х. Смит (1981) [1966]. Прикладной регрессионный анализ (2-е изд.). США: John Wiley and Sons Ltd. ISBN  0-471-02995-5.
• Press, W.H .; Теукольский С.А. В. Т. Феттерлинг; Б.П. Фланнери (1992) [1988]. Числовые рецепты на языке C: искусство научных вычислений (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

внешняя ссылка