Группа конвергенции - Convergence group

В математике группа конвергенции или группа дискретной сходимости это группа ${ displaystyle Gamma}$ играет роль от гомеоморфизмы на компактный метризуемое пространство ${ displaystyle M}$ таким образом, чтобы обобщить свойства действия Клейнианская группа от Преобразования Мебиуса на идеальной границе ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ из гиперболическое 3-пространство ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ Понятие группы сходимости было введено Геринг и Мартин (1987) ^[1] и с тех пор нашла широкое применение в геометрическая топология, квазиконформный анализ, и геометрическая теория групп.

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle Gamma}$ - группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве ${ displaystyle M}$ . Это действие называется действие конвергенции или действие дискретной сходимости (а потом ${ displaystyle Gamma}$ называется группа конвергенции или группа дискретной сходимости для этого действия), если для каждой бесконечной различной последовательности элементов ${ displaystyle gamma _ {n} in Gamma}$ существует подпоследовательность ${ displaystyle gamma _ {n_ {k}}, k = 1,2, dots}$ и точки ${ displaystyle a, b in M}$ такие, что карты ${ displaystyle gamma _ {n_ {k}} { big |} _ {M setminus {a }}}$ сходятся равномерно на компактных подмножествах к постоянному отображению, посылающему ${ Displaystyle М setminus {а }}$ к ${ displaystyle b}$ . Здесь равномерная сходимость на компактных подмножествах означает, что для любой открытой окрестности ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle b}$ в ${ displaystyle M}$ и каждый компакт ${ Displaystyle К подмножество М setminus {а }}$ существует индекс ${ displaystyle k_ {0} geq 1}$ так что для каждого ${ displaystyle k geq k_ {0},}$ ${ Displaystyle гамма _ {п_ {к}} (К) substeq U}$ . Обратите внимание, что «полюса» ${ displaystyle a, b in M}$ связанный с подпоследовательностью ${ displaystyle gamma _ {n_ {k}}}$ не обязательно должны быть различимы.

Переформулировка в терминах действия на различные тройки

Приведенное выше определение группы сходимости допускает полезную эквивалентную переформулировку в терминах действия ${ displaystyle Gamma}$ на «пространстве различных троек» ${ displaystyle M}$ .Для набора ${ displaystyle M}$ обозначать ${ Displaystyle Theta (M): = M ^ {3} setminus Delta (M)}$ , где ${ displaystyle Delta (M) = {(a, b, c) in M ^ {3} mid # {a, b, c } leq 2 }}$ . Набор ${ Displaystyle Theta (М)}$ называется «пространством различных троек» для ${ displaystyle M}$ .

Тогда, как известно, имеет место следующая эквивалентность:^[2]

Позволять ${ displaystyle Gamma}$ - группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве ${ displaystyle M}$ минимум с двумя точками. Тогда это действие является действием дискретной сходимости тогда и только тогда, когда индуцированное действие ${ displaystyle Gamma}$ на ${ Displaystyle Theta (М)}$ является правильно прерывистый.

Примеры

Действие Клейнианская группа ${ displaystyle Gamma}$ на ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {2} = partial mathbb {H} ^ {3}}$ от Преобразования Мебиуса является действием группы сходимости.
Действие словесно-гиперболическая группа ${ displaystyle G}$ переводом на его идеальной границе ${ displaystyle partial G}$ является действием группы сходимости.
Действие относительно гиперболическая группа ${ displaystyle G}$ переводом на границе Боудитча ${ displaystyle partial G}$ является действием группы сходимости.
Позволять ${ displaystyle X}$ быть правильным геодезическим Громов-гиперболический метрическое пространство и пусть ${ displaystyle Gamma}$ - группа, действующая собственно разрывно изометриями на ${ displaystyle X}$ . Тогда соответствующее граничное действие ${ displaystyle Gamma}$ на ${ displaystyle partial X}$ является действием дискретной сходимости (лемма 2.11 из ^[2]).

Классификация элементов в группах сходимости

Позволять ${ displaystyle Gamma}$ - группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве ${ displaystyle M}$ минимум с тремя точками, и пусть ${ displaystyle gamma in Gamma}$ . Тогда известно (лемма 3.1 в ^[2] или лемму 6.2 в ^[3]), что происходит ровно одно из следующего:

(1) Элемент ${ displaystyle gamma}$ имеет конечный порядок в ${ displaystyle Gamma}$ ; в таком случае ${ displaystyle gamma}$ называется эллиптический.

(2) Элемент ${ displaystyle gamma}$ имеет бесконечный порядок в ${ displaystyle Gamma}$ и фиксированный набор ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ это одна точка; в таком случае ${ displaystyle gamma}$ называется параболический.

(3) Элемент ${ displaystyle gamma}$ имеет бесконечный порядок в ${ displaystyle Gamma}$ и фиксированный набор ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ состоит из двух различных точек; в таком случае ${ displaystyle gamma}$ называется локсодромный.

Причем для каждого ${ displaystyle p neq 0}$ элементы ${ displaystyle gamma}$ и ${ displaystyle gamma ^ {p}}$ имеют одинаковый тип. Также в случаях (2) и (3) ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma) = operatorname {Fix} _ {M} ( gamma ^ {p})}$ (где ${ displaystyle p neq 0}$ ) и группа ${ Displaystyle langle gamma rangle}$ действует должным образом с перерывами на ${ displaystyle M setminus operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ . Кроме того, если ${ displaystyle gamma}$ локсодромный, то ${ Displaystyle langle gamma rangle}$ действует должным образом прерывисто и компактно на ${ displaystyle M setminus operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ .

Если ${ displaystyle gamma in Gamma}$ параболическая с неподвижной точкой ${ displaystyle a in M}$ затем для каждого ${ displaystyle x in M}$ надо ${ displaystyle lim _ {n to infty} gamma ^ {n} x = lim _ {n to - infty} gamma ^ {n} x = a}$ Если ${ displaystyle gamma in Gamma}$ локсодромный, то ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ можно записать как ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma) = {a _ {-}, a _ {+} }}$ так что для каждого ${ Displaystyle х в М setminus {а _ {-} }}$ надо ${ Displaystyle lim _ {п к infty} gamma ^ {n} х = а _ {+}}$ и для каждого ${ Displaystyle х в М setminus {а _ {+} }}$ надо ${ displaystyle lim _ {n to - infty} gamma ^ {n} x = a _ {-}}$ , и эти сходимости равномерны на компактных подмножествах ${ displaystyle M setminus {a _ {-}, a _ {+} }}$ .

Группы равномерной сходимости

Действие дискретной сходимости группы ${ displaystyle Gamma}$ на компактном метризуемом пространстве ${ displaystyle M}$ называется униформа (в таком случае ${ displaystyle Gamma}$ называется группа равномерной сходимости) если действие ${ displaystyle Gamma}$ на ${ Displaystyle Theta (М)}$ является совместно компактировать. Таким образом ${ displaystyle Gamma}$ является группой равномерной сходимости тогда и только тогда, когда ее действие на ${ Displaystyle Theta (М)}$ одновременно является разрывным и совместно компактным.

Конические предельные точки

Позволять ${ displaystyle Gamma}$ действовать на компактном метризуемом пространстве ${ displaystyle M}$ как группа дискретной сходимости. Точка ${ displaystyle x in M}$ называется коническая предельная точка (иногда также называют радиальная предельная точка или точка приближения), если существует бесконечная последовательность различных элементов ${ displaystyle gamma _ {n} in Gamma}$ и отдельные точки ${ displaystyle a, b in M}$ такой, что ${ Displaystyle lim _ {п к infty} гамма _ {п} х = а}$ и для каждого ${ Displaystyle у в М setminus {х }}$ надо ${ Displaystyle lim _ {п к infty} гамма _ {п} у = Ь}$ .

Важный результат Тукии,^[4] также независимо получен Bowditch,^[2]^[5] состояния:

Действие группы дискретной сходимости группы ${ displaystyle Gamma}$ на компактном метризуемом пространстве ${ displaystyle M}$ равномерно тогда и только тогда, когда каждая неизолированная точка ${ displaystyle M}$ - коническая предельная точка.

Словесно-гиперболические группы и их границы

Это уже заметил Громов.^[6] что естественное действие переводом словесно-гиперболическая группа ${ displaystyle G}$ на его границе ${ displaystyle partial G}$ является действием равномерной сходимости (см.^[2] для формального доказательства). Bowditch^[5] доказал важное обратное, получив таким образом топологическую характеристику словесно-гиперболических групп:

Теорема. Позволять ${ displaystyle G}$ действуют как дискретная группа равномерной сходимости на компактном метризуемом пространстве ${ displaystyle M}$ без изолированных точек. Тогда группа ${ displaystyle G}$ словесно-гиперболичен и существует ${ displaystyle G}$ -эквивариантный гомеоморфизм ${ Displaystyle M to partial G}$ .

Действия конвергенции по кругу

Изометрическое действие группы ${ displaystyle G}$ на гиперболическая плоскость ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ называется геометрический если это действие правильно прерывистое и компактное. Каждое геометрическое действие ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ индуцирует действие равномерной сходимости ${ displaystyle G}$ на ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {1} = partial H ^ {2} приблизительно partial G}$ Важный результат Тукии (1986),^[7] Габай (1992),^[8] Кассон – Юнгрейс (1994),^[9] и Фреден (1995)^[10] показывает, что верно и обратное:

Теорема. Если ${ displaystyle G}$ - группа, действующая как дискретная группа равномерной сходимости на ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {1}}$ то это действие топологически сопряжено с действием, индуцированным геометрическим действием ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ по изометрии.

Обратите внимание, что всякий раз, когда ${ displaystyle G}$ действует геометрически на ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ , группа ${ displaystyle G}$ является практически гиперболическая поверхностная группа, т. е. ${ displaystyle G}$ содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную фундаментальной группе замкнутой гиперболической поверхности.

Действия конвергенции на 2-х сферах

Одна из эквивалентных переформулировок Гипотеза Кэннона, первоначально поставленный Джеймс В. Кэннон в терминах словесно-гиперболических групп с границами, гомеоморфными ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ ,^[11] говорит, что если ${ displaystyle G}$ - группа, действующая как дискретная группа равномерной сходимости на ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ то это действие топологически сопряжено с действием, индуцированным геометрическое действие из ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ по изометрии. Это предположение остается открытым.

Приложения и дальнейшие обобщения

Яман дал характеристику относительно гиперболические группы с точки зрения действий конвергенции,^[12] обобщение характеристики Боудитча словесно-гиперболических групп как групп равномерной сходимости.
Можно рассматривать более общие варианты групповых действий со «свойством сходимости» без предположения о дискретности.^[13]
Самый общий вариант понятия Карта Кэннон-Терстон, первоначально определенные в контексте клейновых и словесно-гиперболических групп, могут быть определены и изучены в контексте задания групп сходимости.^[14]

использованная литература

^ Ф. В. Геринг и Г. Дж. Мартин, Дискретные квазиконформные группы I, Труды Лондонского математического общества 55 (1987), 331–358
^ ^а ^б ^c ^d ^е Б. Х. Боудич, Группы сходимости и конфигурационные пространства. Геометрическая теория групп (Канберра, 1996), 23–54, de Gruyter, Berlin, 1999.
^ Б. Х. Боудич, Древовидные структуры, возникающие из континуумов и групп сходимости. Мемуары Американского математического общества 139 (1999), нет. 662.
^ П. Тукиа, Конические предельные точки и группы равномерной сходимости.Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 501 (1998), 71–98
^ ^а ^б Б. Боудич, Топологическая характеристика гиперболических групп. Журнал Американского математического общества 11 (1998), нет. 3, 643–667
^ Громов Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки теории групп. Публикации НИИ математических наук. 8. Нью-Йорк: Спрингер. С. 75–263. Дои:10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8. Г-Н 0919829.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
^ П. Тукиа, О квазиконформных группах. Журнал д'анализа математика 46 (1986), 318–346.
^ Д. Габай, Группы сходимости - это фуксовы группы. Анналы математики 136 (1992), нет. 3, 447–510.
^ А. Кассон, Д. Юнгрейс, Группы сходимости и трехмерные расслоенные многообразия Зейферта.Inventiones Mathematicae 118 (1994), нет. 3, 441–456.
^ Э. Фреден, Отрицательно изогнутые группы обладают свойством сходимости. Я. Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Серия A I. Mathematica 20 (1995), нет. 2, 333–348.
^ Джеймс В. Кэннон, Теория отрицательно искривленных пространств и групп. Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства (Триест, 1989), 315–369, Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, Нью-Йорк, 1991
^ А. Яман, Топологическая характеристика относительно гиперболических групп. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 566 (2004), 41–89
^ В. Герасимов, Группы расширенной сходимости относительно гиперболичны., Геометрический и функциональный анализ (GAFA) 19 (2009), нет. 1, 137–169
^ В. Джон, И. Капович, К. Лейнингер, К. Охика, Конические предельные точки и карта Кэннона-Терстона. Конформная геометрия и динамика 20 (2016), 58–80

[1] Ф. В. Геринг и Г. Дж. Мартин, Дискретные квазиконформные группы I, Труды Лондонского математического общества 55 (1987), 331–358

[Bow-config-2] а ^б ^c ^d ^е Б. Х. Боудич, Группы сходимости и конфигурационные пространства. Геометрическая теория групп (Канберра, 1996), 23–54, de Gruyter, Berlin, 1999.

[3] Б. Х. Боудич, Древовидные структуры, возникающие из континуумов и групп сходимости. Мемуары Американского математического общества 139 (1999), нет. 662.

[4] П. Тукиа, Конические предельные точки и группы равномерной сходимости.Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 501 (1998), 71–98

[Bow-topol-5] а ^б Б. Боудич, Топологическая характеристика гиперболических групп. Журнал Американского математического общества 11 (1998), нет. 3, 643–667

[6] Громов Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки теории групп. Публикации НИИ математических наук. 8. Нью-Йорк: Спрингер. С. 75–263. Дои:10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8. Г-Н 0919829.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

[7] П. Тукиа, О квазиконформных группах. Журнал д'анализа математика 46 (1986), 318–346.

[8] Д. Габай, Группы сходимости - это фуксовы группы. Анналы математики 136 (1992), нет. 3, 447–510.

[9] А. Кассон, Д. Юнгрейс, Группы сходимости и трехмерные расслоенные многообразия Зейферта.Inventiones Mathematicae 118 (1994), нет. 3, 441–456.

[10] Э. Фреден, Отрицательно изогнутые группы обладают свойством сходимости. Я. Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Серия A I. Mathematica 20 (1995), нет. 2, 333–348.

[11] Джеймс В. Кэннон, Теория отрицательно искривленных пространств и групп. Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства (Триест, 1989), 315–369, Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, Нью-Йорк, 1991

[12] А. Яман, Топологическая характеристика относительно гиперболических групп. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 566 (2004), 41–89

[13] В. Герасимов, Группы расширенной сходимости относительно гиперболичны., Геометрический и функциональный анализ (GAFA) 19 (2009), нет. 1, 137–169

[14] В. Джон, И. Капович, К. Лейнингер, К. Охика, Конические предельные точки и карта Кэннона-Терстона. Конформная геометрия и динамика 20 (2016), 58–80

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]