Кулоновское столкновение - Coulomb collision

А Кулоновское столкновение бинарный упругое столкновение между двумя заряженными частицами, взаимодействующими через свои собственные электрическое поле. Как и любой закон обратных квадратов, результирующая траектория сталкивающихся частиц есть гиперболический Кеплеровская орбита. Этот тип столкновения часто встречается в плазма где типичная кинетическая энергия частиц слишком велика, чтобы вызвать значительное отклонение от начальных траекторий сталкивающихся частиц, и вместо этого рассматривается кумулятивный эффект многих столкновений.

Математическая обработка плазмы

В плазме кулоновское столкновение редко приводит к большому отклонению. Кумулятивный эффект множества столкновений под маленькими углами, однако, часто больше, чем эффект нескольких столкновений под большими углами, которые происходят, поэтому поучительно рассмотреть динамику столкновения в пределе малых отклонений.

Мы можем рассматривать электрон с зарядом ${ displaystyle -e}$ и масса ${ displaystyle m_ {e}}$ проходя неподвижный ион заряда ${ displaystyle + Ze}$ и гораздо большая масса на расстоянии ${ displaystyle b}$ со скоростью ${ displaystyle v}$ . Перпендикулярная сила равна ${ displaystyle Ze ^ {2} / 4 pi epsilon _ {0} b ^ {2}}$ при ближайшем приближении и длительность встречи около ${ displaystyle b / v}$ . Произведение этих выражений, деленное на массу, и есть изменение перпендикулярной скорости:

{ displaystyle Delta m_ {e} v _ { perp} приблизительно { frac {Ze ^ {2}} {4 pi epsilon _ {0}}} , { frac {1} {vb}} }

Обратите внимание, что угол отклонения пропорционален ${ displaystyle 1 / v ^ {2}}$ . Быстрые частицы «скользкие» и поэтому доминируют во многих транспортных процессах. Эффективность согласованных по скорости взаимодействий также является причиной того, что продукты синтеза имеют тенденцию нагревать электроны, а не (как хотелось бы) ионы. Если присутствует электрическое поле, более быстрые электроны ощущают меньшее сопротивление и становятся еще быстрее в процессе «убегания».

Проходя через поле ионов с плотностью ${ displaystyle n}$ , электрон будет иметь много таких встреч одновременно, с различными параметрами удара (расстояние до иона) и направлениями. Кумулятивный эффект можно описать как диффузию перпендикулярного импульса. Соответствующая постоянная диффузии находится путем интегрирования квадратов индивидуальных изменений импульса. Частота столкновений с прицельным параметром между ${ displaystyle b}$ и ${ displaystyle (b + mathrm {d} b)}$ является ${ displaystyle nv (2 pi b mathrm {d} b)}$ , поэтому постоянная диффузии определяется выражением

{ displaystyle D_ {v perp} = int left ({ frac {Ze ^ {2}} {4 pi epsilon _ {0}}} right) ^ {2} , { frac { 1} {v ^ {2} b ^ {2}}} , nv (2 pi b , { mathrm {d}} b) = left ({ frac {Ze ^ {2}} {4 pi epsilon _ {0}}} right) ^ {2} , { frac {2 pi n} {v}} , int { frac {{ mathrm {d}} b} { b}}}

Очевидно, что интеграл расходится как в сторону малых, так и больших прицельных параметров. Расхождение при малых прицельных параметрах явно нефизично, поскольку при используемых здесь допущениях конечный перпендикулярный импульс не может принимать значение выше начального. Установка указанной выше оценки для ${ displaystyle Delta m_ {e} v _ { perp}}$ равно ${ displaystyle mv}$ , мы находим нижнюю границу прицельного параметра порядка

{ displaystyle b_ {0} = { frac {Ze ^ {2}} {4 pi epsilon _ {0}}} , { frac {1} {m_ {e} v ^ {2}}} }

Мы также можем использовать ${ displaystyle pi b_ {0} ^ {2}}$ как оценка сечения для столкновений под большими углами. При некоторых условиях существует более строгий нижний предел из-за квантовой механики, а именно: длина волны де Бройля электрона, ${ displaystyle h / m_ {e} v}$ куда ${ displaystyle h}$ является Постоянная Планка.

При больших прицельных параметрах заряд иона равен защищенный из-за тенденции электронов группироваться по соседству с ионом и другими ионами, чтобы избежать этого. Таким образом, верхняя граница прицельного параметра должна быть примерно равна Длина Дебая:

{ displaystyle lambda _ {D} = { sqrt { frac { epsilon _ {0} kT_ {e}} {n_ {e} e ^ {2}}}}}

Кулоновский логарифм

Интеграл ${ displaystyle 1 / b}$ таким образом получается логарифм отношения верхнего и нижнего пороговых значений. Это число известно как Кулоновский логарифм и обозначается либо ${ displaystyle ln Lambda}$ или же ${ displaystyle lambda}$ . Это фактор, в котором столкновения под малым углом более эффективны, чем столкновения под большим углом. Для многих представляющих интерес плазм он принимает значения между ${ displaystyle 5}$ и ${ displaystyle 15}$ . (Удобные формулы см. На стр. 34 и 35 Формуляр плазмы NRL.) Пределы интеграла прицельного параметра не являются точными, но они неопределенны факторами порядка единицы, что приводит к теоретическим неопределенностям порядка ${ displaystyle 1 / lambda}$ . По этой причине часто бывает оправдано просто сделать удобный выбор. ${ displaystyle lambda = 10}$ . Анализ здесь дает масштабирование и порядки величин.^[1]