Теорема Казинса - Википедия - Cousins theorem

В реальный анализ, раздел математики, Теорема Кузена утверждает, что:

Если для каждой точки замкнутого региона (говоря современным языком "закрыто и ограниченный ") есть круг конечного радиуса (в современном понимании,"район "), то область может быть разделена на конечное число подобластей, так что каждая подобласть является внутренней по отношению к окружности данного набора, имеющей центр в подобласти.^[1]

Первоначально этот результат был доказан Пьером Кузеном, студентом Анри Пуанкаре, в 1895 г. и расширяет первоначальный Теорема Гейне – Бореля на компактность для произвольных охватывает из компактный подмножества ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Однако Пьер Кузен не получил никакого кредита. Теорема Кузена обычно приписывалась Анри Лебег как Теорема Бореля – Лебега.. Лебег знал об этом результате в 1898 году и доказал его в своей диссертации 1903 года.^[1]

Говоря современным языком, это сформулировано так:

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ быть полным покрытием [а, б], то есть набор замкнутых подынтервалов в [а, б] со свойством, что для каждого Икс∈[а, б] существует δ> 0 так что ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ содержит все подынтервалы [а, б] который содержит Икс и длина меньше чем δ. Тогда существует разбиение {я₁, я₂,...,я_п} неперекрывающихся интервалов для [а, б], куда я_я=[Икс_я-1, Икс_я]∈${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и а = х₀ <х₁ <... <х_п= b для всех 1≤i≤n.

В интеграции Henstock – Kurzweil

Теорема Кузена играет важную роль в изучении Интеграция Хенштока – Курцвейла, и в этом контексте он известен как Лемма кузена или теорема тонкости.

А измерить ${ Displaystyle [а, б]}$ - строго положительная вещественнозначная функция ${ displaystyle delta: [a, b] to mathbb {R} ^ {+}}$, а отмеченный раздел ${ Displaystyle [а, б]}$ конечная последовательность^[2][3]

${ Displaystyle P = langle a = x_ {0}$

Учитывая калибр ${ displaystyle delta: [a, b] to mathbb {R} ^ {+}}$ и раздел с тегами ${ displaystyle P}$ из ${ Displaystyle [а, б]}$, мы говорим ${ displaystyle P}$ является ${ displaystyle delta}$-отлично если для всех ${ displaystyle j < ell}$, у нас есть ${ displaystyle (x_ {j}, x_ {j + 1}) substeq B { big (} t_ {j}, delta (t_ {j}) { big)}}$, куда ${ Displaystyle В (х, г)}$ обозначает открытый мяч радиуса ${ displaystyle r}$ сосредоточен на ${ displaystyle x}$. Лемма Кузена теперь формулируется так:

Если ${ Displaystyle а <б в mathbb {R}}$, то каждый калибр ${ displaystyle delta: [a, b] to mathbb {R} ^ {+}}$ имеет ${ displaystyle delta}$-отлично раздел.^[4]

Примечания

Рекомендации

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.