Лемма о покрытии - Covering lemma

Смотрите также: Теорема Дженсена о покрытии

в основы математики, а лемма о покрытии используется для доказательства того, что несуществование определенных большие кардиналы приводит к существованию канонической внутренняя модель, называется основная модель, т. е. в некотором смысле максимальную и приближает структуру Вселенная фон Неймана V. Лемма о покрытии утверждает, что при некотором конкретном антибольшом кардинальном предположении основная модель существует и является максимальной в том смысле, что зависит от выбранного большого кардинала. Первый такой результат был доказан Рональд Дженсен для конструируемая вселенная предполагая 0# не существует, что теперь известно как Теорема Дженсена о покрытии.

Пример

Например, если нет внутренней модели для измеримый кардинал, то модель ядра Додда – Дженсена, KДиджей является базовой моделью и удовлетворяет покрытие собственности, то есть для каждого несчетного множества Икс ординалов есть у такой, что у ⊃ Икс, у имеет ту же мощность, что и Икс, и у ∈ KДиджей. (Если 0# не существует, то KДиджей = L.)

Версии

Если базовая модель K существует (и не имеет кардиналов Вудена), то

  1. Если K не имеет ω1-Кардиналы Эрда, то для конкретной счетной (в K) и определяемой в K последовательности функций от ординалов к ординалам, каждый набор ординалов, замкнутый под действием этих функций, является объединением счетного числа множеств в K. Если L = K, это просто примитивные рекурсивные функции.
  2. Если K не имеет измеримых кардиналов, то для каждого несчетного множества Икс ординалов есть у ∈ K такой, что x ⊂ y и | x | = | у |.
  3. Если K имеет только один измеримый кардинал κ, то для любого несчетного множества x ординалов найдется y ∈ K [C] такой, что x ⊂ y и | x | = | у |. Здесь C либо пусто, либо Прикры общее над K (так что оно имеет порядковый тип ω и конфинально по κ) и единственно, за исключением конечного начального сегмента.
  4. Если у K нет недоступного предела измеримых кардиналов и нет собственного класса измеримых кардиналов, то существует максимальное и единственное (за исключением конечного набора ординалов) множество C (называемое системой неразличимых) для K такое, что для каждой последовательности S в K меры один множества, состоящие из одного множества для каждого измеримого кардинала, C минус ∪S конечно. Заметим, что каждое κ C либо конечно, либо является общим для K в точке κ, за исключением элементов C ниже измеримого кардинала ниже κ. Для каждого несчетного множества x ординалов существует y ∈ K [C] такое, что x ⊂ y и | x | = | у |.
  5. Для каждого несчетного множества x ординалов существует множество C неразличимых для полных расширителей на K такое, что существует y ∈ K [C], x ⊂ y и | x | = | у |.
  6. K правильно вычисляет последователей сингулярных и слабо компактных кардиналов (Слабое укрывающее свойство). Более того, если | κ | > ω1, то конфинальность ((κ+)K) ≥ | κ |.

Расширители и неразличимые вещества

Для основных моделей без перекрывающихся полных расширителей система неразличимых элементов хорошо изучена. Хотя (если K имеет недоступный предел измеримых кардиналов), система может зависеть от множества, которое необходимо покрыть, она хорошо определена и уникальна в более слабом смысле. Одним из применений покрытия является подсчет количества (последовательностей) неразличимых, что дает оптимальные нижние границы для различных отказов гипотеза единственного кардинала. Например, если K не имеет перекрывающихся полных расширителей, а κ - особый сильный предел, и 2κ = κ++, то κ имеет порядок Митчелла не менее κ++ in K. Наоборот, несостоятельность особой кардинальной гипотезы может быть получена (в общем расширении) из κ с o (κ) = κ++.

Для основных моделей с перекрывающимися полными расширителями (то есть с кардинальным сильным до измеримого) системы неразличимых плохо изучены, а приложения (например, слабое покрытие) имеют тенденцию избегать, а не анализировать неразличимые.

Дополнительные свойства

Если K существует, то каждый регулярный кардинал Йонссона является рамсеевским в K. Каждый особый кардинал, регулярный в K, измерим в K.

Кроме того, если базовая модель K (X) существует над множеством ординалов X, то она имеет описанные выше покрывающие свойства над X.

Рекомендации

  • Митчелл, Уильям (2010), "Лемма о покрытии", Справочник по теории множеств, Springer, стр. 1497–1594, Дои:10.1007/978-1-4020-5764-9_19, ISBN  978-1-4020-4843-2