Зуб (игра) - Cram (game)
Втиснуть это математическая игра играл на листе миллиметровая бумага. Это беспристрастная версия Властный Единственное различие в правилах состоит в том, что каждый игрок может расположить свои домино в любой ориентации, но это приводит к совершенно разной игре. Он получил множество названий, в том числе «плагин» Джеффри Мотт-Смита и «точки и пары». Крэм был популяризирован Мартин Гарднер в Scientific American.[1]
Правила
Игра ведется на листе миллиметровая бумага, с любым набором рисунков. Чаще всего в нее играют на прямоугольной доске, такой как квадрат 6 × 6 или шахматная доска, но в него также можно играть на совершенно нестандартных многоугольник или цилиндрическая доска.
У двух игроков есть коллекция домино которые они по очереди размещают на сетке. Игрок может поставить домино горизонтально или вертикально. В отличие от связанной игры Властный, возможные ходы для двух игроков одинаковы, и тогда Крам беспристрастная игра.
Что касается всех беспристрастных игр, есть два возможных соглашения для победы: в обычной игре первый игрок, который не может двигаться, проигрывает, и, наоборот, в Misère версии, побеждает первый игрок, который не может двигаться.
Игра симметрии
 | Эта секция не цитировать Любые источники. (Июль 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
Победа стратегия for normal Cram прост для досок с четным и четным порядком. В случае четности второй игрок выигрывает со счетом симметрия играть в. Это означает, что какое бы движение ни делал Игрок 1, Игрок 2 совершает соответствующее симметричное движение по горизонтальной и вертикальной осям. В некотором смысле игрок 2 «имитирует» ходы, сделанные игроком 1. Если игрок 2 следует этой стратегии, игрок 2 всегда будет делать последний ход и, таким образом, выиграть игру.
В случае четности по нечетности первый игрок выигрывает аналогичной игрой симметрии. Игрок 1 кладет свое первое домино в два центральных квадрата сетки. Игрок 2 затем делает свой ход, но после этого Игрок 1 может играть симметрично, обеспечивая таким образом победу Игроку 1.
Игра симметрии - бесполезная стратегия в Misère версия, потому что в этом случае она только гарантирует игроку, что он проигрывает.
Нормальная версия
Грандиозное значение
Поскольку Крам беспристрастная игра, то Теорема Спрага – Гранди указывает, что в обычной версии любое положение зубчатого колеса эквивалентно немая куча заданного размера, также называемого Грандиозное значение. Некоторые значения можно найти в Выигрышные способы для ваших математических игр, в частности 2 ×п доска, значение которой равно 0, если п четно и 1, если п странно.
Стратегия симметрии подразумевает, что у четных досок значение Гранди равно 0, но в случае четных на нечетных досок это подразумевает только значение Гранди, большее или равное 1.
| п × м | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 0 | 2 | 0 | 3 | 0 | 1 |
| 5 | - | 0 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 6 | - | - | 0 | 5 | 0 | ≥1 |
| 7 | - | - | - | 1 | ≥1 | ? |
Известные ценности
В 2009 году Мартин Шнайдер вычислил грубые значения для досок 3 × 9, 4 × 5 и 5 × 7.[2] В 2010 году Жюльен Лемуан и Саймон Виенно применили к игре алгоритмы Cram, которые изначально были разработаны для игры в Ростки.[3] Это позволило им вычислить грандиозные значения до плат 3 × 20, 4 × 9, 5 × 9, 6 × 7 и 7 × 7.[4]
Последовательность известных в настоящее время значений Гранди для 3 ×п доски, от n = 1 до n = 20: 1, 1, 0, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 4, 0, 1, 0, 2. На нем нет явного рисунка.
В таблице ниже подробно описаны известные результаты для плат с обоими размерами больше 3. Поскольку значение п × м доска такая же, как и стоимость м × п доска, отдаем только верхнюю часть стола.
Версия Misère
Мизер Гранди-Вэлью
Мизер Гранди-ценность игры G определяется формулой Конвей в О числах и играх как уникальное число n такое, что G + n - это выигрыш второго игрока в игре «misère play».[5] Даже если он очень похож на обычное значение Гранди в обычной игре, он не такой мощный. В частности, невозможно вывести misère Grundy-value суммы игр только из их соответствующих misère grundy-values.
| п × м | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | - | 2 | 1 | 1 | ? | ? |
| 6 | - | - | 1 | ? | ? | ? |
Известные ценности
В 2009 году Мартин Шнайдер вычислил значения misère grundy для досок 3 × 9, 4 × 6 и 5 × 5.[2] В 2010 году Жюльен Лемуан и Симон Виенно расширили эти результаты до досок 3 × 15, 4 × 9 и 5 × 7, а также до значения 6 × 6.[4]
Последовательность известных в настоящее время значений Мизера Гранди для 3 ×п доски, от n = 1 до n = 15: 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1. Предполагается, что эта последовательность периодична период 3.[4]
В соседней таблице подробно описаны известные результаты для досок с обоими размерами больше 3.
использованная литература
- Берлекамп, Элвин Р.; Конвей, Джон Х.; Гай, Ричард К. (2003). Выигрышные способы для ваших математических игр. А. К. Петерс, ООО
- ^ Гарднер, Мартин (1974). «Математические игры: зубрежка, кроссрам и квадрафаг: новые игры с неуловимыми выигрышными стратегиями». Scientific American. 230 (2): 106–108.
- ^ а б Дас Шпиль Джувавум, Мартин Шнайдер, магистерская работа, 2009 г.
- ^ Жюльен, Лемуан; Саймон, Виеннот (2010). «Нимберы неизбежны». arXiv:1011.5841 [math.CO ].
- ^ а б c Вычислительные записи нормального и плохого Крэма, Веб-сайт Жюльена Лемуана и Саймона Вьенно
- ^ Джон Х., Конвей (2000). О числах и играх. А. К. Петерс, ООО