Конфигурация Кремона – Ричмонд - Cremona–Richmond configuration

Конфигурация Кремоны – Ричмонда

В математике Конфигурация Кремона – Ричмонд это конфигурация из 15 линий и 15 точек, с 3 точками на каждой линии и 3 линиями через каждую точку и не содержащим треугольников. Его изучили Кремона (1877 ) и Ричмонд (1900 ). Это обобщенный четырехугольник с параметрами (2,2). Его Граф Леви это График Тутте – Кокстера.^[1]

Симметрия

Точки конфигурации Кремоны – Ричмонда можно отождествить с ${ displaystyle 15 = { tbinom {6} {2}}}$ неупорядоченные пары элементов шестиэлементного набора; эти пары называются дуады. Точно так же линии конфигурации могут быть идентифицированы с помощью 15 способов разделения одних и тех же шести элементов на три пары; эти перегородки называются синтемы. Идентифицированная таким образом точка конфигурации инцидентна линии конфигурации тогда и только тогда, когда пара, соответствующая точке, является одной из трех пар в синтеме, соответствующей строке.^[1]

В симметричная группа всех перестановок шести элементов, лежащих в основе этой системы пар и синтем, действует как группа симметрии конфигурации Кремоны – Ричмонда и дает автоморфизм группа конфигурации. Каждый флаг конфигурации (пара инцидентных точек и линий) можно сопоставить с любым другим флагом с помощью симметрии в этой группе.^[1]

Конфигурация Кремона – Ричмонд самодвойственный: возможно обмен точек на линии с сохранением всех инцидентов конфигурации. Эта двойственность придает графу Тутта – Кокстера дополнительные симметрии помимо симметрий конфигурации Кремоны – Ричмонда, которые меняют местами две стороны его двудольного распределения. Эти симметрии соответствуют внешние автоморфизмы симметрической группы на шести элементах.

Реализация

Любые шесть точек в общем положении в четырехмерном пространстве определяют 15 точек, где прямая, проходящая через две точки, пересекает гиперплоскость через остальные четыре точки; Таким образом, пары шести точек соответствуют один к одному этим 15 производным точкам. Любые три пары, которые вместе образуют синтему, определяют линию, линию пересечения трех гиперплоскостей, содержащую две из трех пар в синтеме, и эта линия содержит каждую из точек, полученных от трех ее дуэд. Таким образом, дуады и синтемы абстрактной конфигурации соотносятся один к одному с сохранением инцидентности с этими 15 точками и 15 линиями, полученными из исходных шести точек, которые образуют реализацию конфигурации. Та же реализация может быть спроецирована в евклидово пространство или евклидову плоскость.^[1]

Конфигурация Кремоны – Ричмонда также имеет однопараметрическое семейство реализаций на плоскости с циклической симметрией пятого порядка.^[2]

История

Людвиг Шлефли (1858, 1863 ) найденный кубические поверхности содержащий наборы из 15 вещественных линий (дополняющих Шлефли двойная шестерка в наборе всех 27 прямых на кубике) и 15 касательных плоскостей, по три прямые в каждой плоскости и три плоскости через каждую линию. Пересечение этих линий и плоскостей другой плоскостью дает 15₃15₃ конфигурация. Специфическая картина падения линий и плоскостей Шлефли была позже опубликована Луиджи Кремона (1868 ). Замечание, что полученная конфигурация не содержит треугольников, было сделано Мартинетти (1886), и такая же конфигурация появляется и в работе Герберт Уильям Ричмонд (1900 ). Висконти (1916) нашел описание конфигурации как самовписанный многоугольник. Х. Ф. Бейкер использовал четырехмерную реализацию этой конфигурации в качестве фронтисписа для двух томов своего учебника 1922–1925 гг., Принципы геометрии. Захария (1951) также переоткрыл ту же конфигурацию и нашел ее реализацию с циклической симметрией пятого порядка.^[3]

Название конфигурации происходит от исследований Кремоны (1868, 1877 ) и Ричмонд (1900); возможно, из-за некоторых ошибок в его работе современный вклад Мартинетти остался в тени.^[3]

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d Кокстер (1950); Кокстер (1958). Терминология дуад и синтем взята из Сильвестр (1844), но Сильвестр рассматривает эти системы пар и разбиений в контексте более общего изучения кортежей и разбиений множеств, не уделяет особого внимания случаю шестиэлементного множества и не придает никакого геометрического значения множествам .
^ Захария (1951); Бобен и Пизанский (2003); Boben et al. (2006).
^ ^а ^б Эта история и большинство ссылок в ней взяты из Boben et al. (2006). Ссылка на Бейкера из Кокстер (1950).

внешняя ссылка

[cc-1] а ^б ^c ^d Кокстер (1950); Кокстер (1958). Терминология дуад и синтем взята из Сильвестр (1844), но Сильвестр рассматривает эти системы пар и разбиений в контексте более общего изучения кортежей и разбиений множеств, не уделяет особого внимания случаю шестиэлементного множества и не придает никакого геометрического значения множествам .

[2] Захария (1951); Бобен и Пизанский (2003); Boben et al. (2006).

[bgpz-3] а ^б Эта история и большинство ссылок в ней взяты из Boben et al. (2006). Ссылка на Бейкера из Кокстер (1950).

[1]

[2]

[3]