Циклотомический персонаж - Википедия - Cyclotomic character

В теория чисел, а круговой характер это персонаж из Группа Галуа давая Галуа действие на группа из корни единства. Как одномерный представление через звенеть р, это пространство представления обычно обозначается р(1) (то есть это представление χ: грамм → Aut_р(р(1)) ≈ GL (1, р)).

п-адический циклотомический характер

Если п это основной, и грамм это абсолютная группа Галуа из рациональное число, то п-адический циклотомический характер это групповой гомоморфизм

{ displaystyle chi _ {p}: G rightarrow mathbf {Z} _ {p} ^ { times}}

куда Z_п^× это группа единиц кольца p-адические целые числа. Этот гомоморфизм определяется следующим образом. Позволять ζ_п быть примитивный п^п корень единства. Каждый п^п корень единства - это сила ζ_п однозначно определяется как элемент кольца целых чисел по модулю п^п. Первобытные корни из единства соответствуют обратимые элементы, т.е. к (Z/п^п)^×. Элемент грамм группы Галуа грамм отправляет ζ_п к другому примитиву п^п корень единства

{ displaystyle theta = zeta _ {n} ^ {a_ {g, n}}}

куда а_{грамм,п} ∈ (Z/п^п)^×. Для данного грамм, так как п меняется, а_{грамм,п} образуют совместимую систему в том смысле, что они дают элемент обратный предел из (Z/п^п)^×, который Z_п^×. Следовательно п-адический циклотомический символ посылает грамм в систему (а_{грамм,п})_п, таким образом кодируя действие грамм на все п-силовые корни единства.

Фактически, ${ displaystyle chi _ {p}}$ это непрерывный гомоморфизм (где топология на грамм это Топология Крулля, и это на Z_п^× это p-адический топология).

Как согласованная система ℓ-адических представлений

Варьируя ℓ по всем простым числам, a совместимая система ℓ-адических представлений получается из ℓ-адических циклотомических символов (при рассмотрении совместимых систем представлений стандартная терминология заключается в использовании символа ℓ для обозначения простого числа вместо п). То есть χ = {χ_ℓ }_ℓ является «семейством» ℓ-адических представлений

{ displaystyle chi _ { ell}: G _ { mathbf {Q}} rightarrow operatorname {GL} _ {1} ( mathbf {Z} _ { ell})}

удовлетворение определенной совместимости между разными простыми числами. Фактически, χ_ℓ сформировать строго согласованная система ℓ-адических представлений.

Геометрические реализации

В п-адический циклотомический характер - п-адический Модуль Тейт из мультипликативная групповая схема грамм_м,Q над Q. Таким образом, его пространство представления можно рассматривать как обратный предел групп п^пкорни единства в Q.

С точки зрения когомология, то п-адический циклотомический характер - двойной из первых п-адический этальные когомологии группа грамм_м. Его также можно найти в этальных когомологиях проективное разнообразие, а именно проективная линия: это двойник ЧАС²_ét( п¹ ).

С точки зрения мотивы, то п-адический циклотомический характер - п-адическая реализация Мотив Тейта Z(1). Как Мотив Гротендика, мотив Тейта является двойственным ЧАС²( п¹ ).^[1]

Характеристики

В п-адический циклотомический персонаж обладает несколькими хорошими свойствами.

это неразветвленный при всех простых числах ℓ ≠ п (т.е. подгруппа инерции в действует тривиально).
Если Фроб_ℓ это Элемент Фробениуса для ℓ ≠ п, то χ_п(Фроб_ℓ) = ℓ
это кристаллический в п.

Смотрите также

Тейт твист