ДМРГ модели Гейзенберга - DMRG of the Heisenberg model
Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом.Октябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
В рамках изучения квант проблема многих тел в физика, то DMRG-анализ модели Гейзенберга является важным теоретическим примером применения методов ренормгруппа матрицы плотности (DMRG) в Модель Гейзенберга цепочки спинов. В данной статье представлен "бесконечный" алгоритм DMRG для антиферромагнитная цепь Гейзенберга, но рецепт применим для любой трансляционно-инвариантной одномерной решетка.
DMRG - это ренормализационная группа метод, потому что он предлагает эффективное усечение Гильбертово пространство одномерных квантовых систем.
Алгоритм
Отправная точка
Для моделирования бесконечной цепочки, начиная с четырех участков. Первый - это заблокировать сайт, последний сайт-вселенная а остальные - это добавленные сайты, правый добавляется к сайту блока юниверса, а другой - к сайту блока.
Гильбертово пространство для единственного узла есть с основанием . На этой базе вращение операторы , и для одного сайта. Для каждого блока, двух блоков и двух сайтов существует собственное гильбертово пространство. , его база () и собственные операторы :
- блокировать: , , , , ,
- левый сайт: , , , ,
- правый сайт: , , , ,
- вселенная: , , , , ,
В начальной точке все четыре гильбертовых пространства эквивалентны , все спиновые операторы эквивалентны , и и . Это всегда (на каждой итерации) верно только для левого и правого сайтов.
Шаг 1. Сформируйте матрицу гамильтониана для суперблока.
Ингредиентами являются четыре блочных оператора и четыре блочных оператора юниверса, которые на первой итерации матрицы, три оператора спина левого узла и три оператора спина правого узла, которые всегда матрицы. В Гамильтониан матрица суперблок (цепочка), которая на первой итерации имеет всего четыре узла, формируется этими операторами. В модели антиферромагнетика Гейзенберга S = 1 гамильтониан имеет вид:
Эти операторы живут в пространстве состояний суперблока: , база . Например: (соглашение):
Гамильтониан в Форма DMRG есть (мы устанавливаем ):
Операторы матрицы, , Например:
Шаг 2: диагонализуйте гамильтониан суперблока
На этом этапе вы должны выбрать собственное состояние гамильтониана, для которого некоторые наблюдаемые рассчитывается, это целевое состояние . В начале вы можете выбрать основное состояние и используйте продвинутый алгоритм, чтобы найти его, один из них описан в:
- Итеративное вычисление нескольких наименьших собственных значений и соответствующих Собственные векторы больших реальных-Симметричные матрицы, Эрнест Р. Дэвидсон; Журнал вычислительной физики 17, 87-94 (1975)
Этот шаг - самая трудоемкая часть алгоритма.
Если целевое состояние, ожидаемое значение различных операторов можно измерить на этом этапе, используя .
Шаг 3. Уменьшите матрицу плотности
Сформировать матрицу приведенной плотности для первых двух блочных систем - блочная и левосторонняя. По определению это матрица:Диагонализовать и сформировать матрица , какие строки собственные векторы, связанные с наибольшие собственные значения из . Так формируется наиболее значимыми собственными состояниями приведенной матрицы плотности. Твой выбор глядя на параметр : .
Шаг 4. Новые операторы блока и блока юниверса
Сформировать матричное представление операторов для системной композиции блочного и левого узлов, а также для системной композиции из правого узла и юниверса-блока, например:
Теперь сформируйте матричные представления нового блока и операторов блока-юниверса, формируют новый блок, изменяя базис с преобразованием , Например:
На этом итерация заканчивается, и алгоритм возвращается к шагу 1. Алгоритм успешно останавливается, когда наблюдаемое сходится к некоторому значению.
дальнейшее чтение
- Уайт, Стивен Р. (1993-10-01). «Матричные алгоритмы плотности для квантовых ренормализационных групп». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 48 (14): 10345–10356. Дои:10.1103 / Physrevb.48.10345. ISSN 0163-1829. PMID 10007313.
- Уайт, Стивен Р .; Хьюз, Дэвид А. (1993-08-01). "Численное ренормгрупповое исследование низколежащих собственных состояний антиферромагнитной цепочки Гейзенберга S = 1". Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 48 (6): 3844–3852. Дои:10.1103 / Physrevb.48.3844. ISSN 0163-1829. PMID 10008834.
- Шолльвёк, У. (26 апреля 2005 г.). «Ренормализационная группа матрицы плотности». Обзоры современной физики. 77 (1): 259–315. arXiv:cond-mat / 0409292. Дои:10.1103 / revmodphys.77.259. ISSN 0034-6861. S2CID 119066197.