Производная Дарбу - Darboux derivative

В Производная Дарбу карты между многообразие и Группа Ли является вариантом стандартной производной. Возможно, это более естественное обобщение производной одной переменной. Это позволяет обобщить единственную переменную основная теорема исчисления к более высоким измерениям, в другом ключе, чем обобщение, которое Теорема Стокса.

Формальное определение

Позволять ${displaystyle G}$ быть Группа Ли, и разреши ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ быть его Алгебра Ли. В Форма Маурера-Картана, ${displaystyle omega _ {G}}$, гладкая ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-значен ${displaystyle 1}$-форма на ${displaystyle G}$ (ср. Значная форма алгебры Ли ) определяется

${displaystyle omega _ {G} (X_ {g}) = (T_ {g} L_ {g}) ^ {- 1} X_ {g}}$

для всех ${displaystyle gin G}$ и ${displaystyle X_ {g} в T_ {g} G}$. Здесь ${displaystyle L_ {g}}$ обозначает левое умножение на элемент ${displaystyle gin G}$ и ${displaystyle T_ {g} L_ {g}}$ его производная в ${displaystyle g}$.

Позволять ${displaystyle f: M o G}$ быть гладкая функция между гладкое многообразие ${displaystyle M}$ и ${displaystyle G}$. Тогда Производная Дарбу из ${displaystyle f}$ гладкий ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-значен ${displaystyle 1}$-форма

${displaystyle omega _ {f}: = f ^ {*} omega _ {G},}$

то откат из ${displaystyle omega _ {G}}$ к ${displaystyle f}$. Карта ${displaystyle f}$ называется интеграл или же примитивный из ${displaystyle omega _ {f}}$.

Более естественно?

Причина, по которой можно было бы назвать производную Дарбу более естественным обобщением производной исчисления с одной переменной, заключается в следующем. В исчислении с одной переменной производная ${displaystyle f '}$ функции ${displaystyle f: mathbb {R} или mathbb {R}}$ присваивает каждой точке в домене один номер. Согласно более общим представлениям о производных, производная сопоставляет каждой точке в области a линейная карта от касательного пространства в точке домена до касательного пространства в точке изображения. Эта производная инкапсулирует две части данных: изображение доменной точки и линейная карта. В исчислении с одной переменной мы опускаем некоторую информацию. Мы сохраняем только линейную карту в виде скалярного умножающего агента (т.е. числа).

Один из способов оправдать это соглашение о сохранении только аспекта линейного отображения производной - это апеллировать к (очень простой) структуре группы Ли ${displaystyle mathbb {R}}$ под дополнением. В касательный пучок любой Группа Ли можно упростить умножением слева (или справа). Это означает, что каждое касательное пространство в ${displaystyle mathbb {R}}$ может быть отождествлен с касательным пространством в тождестве, ${displaystyle 0}$, какой Алгебра Ли из ${displaystyle mathbb {R}}$. В этом случае левое и правое умножение - это просто перевод. После составления производной типа многообразия с тривиализацией касательного пространства для каждой точки в области мы получаем линейное отображение из касательного пространства в точке области в алгебру Ли ${displaystyle mathbb {R}}$. В символах для каждого ${displaystyle xin mathbb {R}}$ мы смотрим на карту

${displaystyle vin T_ {x} mathbb {R} mapsto (T_ {f (x)} L_ {f (x)}) ^ {- 1} circ (T_ {x} f) vin T_ {0} mathbb {R} .}$

Поскольку задействованные касательные пространства одномерны, это линейное отображение представляет собой просто умножение на некоторый скаляр. (Этот скаляр может меняться в зависимости от того, какой базис мы используем для векторных пространств, но каноническая единица векторное поле ${displaystyle {frac {partial} {partial t}}}$ на ${displaystyle mathbb {R}}$ дает канонический выбор базиса и, следовательно, канонический выбор скаляра.) Этот скаляр - это то, что мы обычно обозначаем как ${displaystyle f '(x)}$.

Уникальность примитивов

Если коллектор ${displaystyle M}$ связано, и ${displaystyle f, g: M o G}$ оба примитивы ${displaystyle omega _ {f}}$, т.е. ${displaystyle omega _ {f} = omega _ {g}}$, то существует некоторая постоянная ${displaystyle Cin G}$ такой, что

${displaystyle f (x) = Ccdot g (x)}$ для всех ${displaystyle xin M}$.

Эта постоянная ${displaystyle C}$ конечно же аналог константы, которая появляется при взятии неопределенный интеграл.

Основная теорема исчисления

В структурное уравнение для Форма Маурера-Картана является:

${displaystyle Domega + {frac {1} {2}} [omega, omega] = 0.}$

Это означает, что для всех векторных полей ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ на ${displaystyle G}$ и все ${displaystyle xin G}$, у нас есть

${displaystyle (Domega) _ {x} (X_ {x}, Y_ {x}) + [omega _ {x} (X_ {x}), omega _ {x} (Y_ {x})] = 0.}$

Для любой алгеброзначной Ли ${displaystyle 1}$-форма на любом гладком многообразии, все члены в этом уравнении имеют смысл, поэтому для любой такой формы мы можем спросить, удовлетворяет ли она этому структурному уравнению.

Обычный основная теорема исчисления для исчисления с одной переменной имеет следующее локальное обобщение.

Если ${displaystyle {mathfrak {g}}}$-значен ${displaystyle 1}$-форма ${displaystyle omega}$ на ${displaystyle M}$ удовлетворяет структурному уравнению, то каждая точка ${displaystyle pin M}$ имеет открытый район ${displaystyle U}$ и гладкая карта ${displaystyle f: U o G}$ такой, что

${displaystyle omega _ {f} = omega | _ {U},}$

т.е. ${displaystyle omega}$ имеет примитив, определенный в окрестности каждой точки ${displaystyle M}$.

Для глобального обобщения основной теоремы необходимо изучить некоторые монодромия вопросы в ${displaystyle M}$ и ${displaystyle G}$.

Рекомендации

• Р. В. Шарп (1996). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  0-387-94732-9.
• Шломо Штернберг (1964). «Глава V, Группы Ли. Раздел 2, Инвариантные формы и алгебра Ли». Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис-Холл. OCLC  529176.