Декомпозиция модуля - Википедия - Decomposition of a module

В абстрактной алгебре a декомпозиция модуля это способ написать модуль как прямая сумма модулей. Тип декомпозиции часто используется для определения или характеристики модулей: например, полупростой модуль - это модуль, разбиваемый на простые модули. Для данного кольца типы разложения модулей над кольцом также могут использоваться для определения или характеристики кольца: кольцо полупросто тогда и только тогда, когда каждый модуль над ним является полупростым модулем.

An неразложимый модуль модуль, не являющийся прямой суммой двух ненулевых подмодулей. Теорема Адзумая утверждает, что если модуль имеет разложение на модули с локальными кольцами эндоморфизмов, то все разложения на неразложимые модули эквивалентны друг другу; частный случай этого, особенно в теории групп, известен как Теорема Крулля – Шмидта.

Частным случаем разложения модуля является разложение кольца: например, кольцо полупростое тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой (фактически произведением) матричных колец над телами (это наблюдение известно как то Теорема Артина – Веддерберна ).

Идемпотенты и разложения

Дать прямую сумму разложения модуля на подмодули - это то же самое, что дать ортогональные идемпотенты в кольце эндоморфизмов модуля, которые суммируют тождественное отображение.^[1] Действительно, если ${ textstyle M = bigoplus _ {я in I} M_ {я}}$ , то для каждого ${ displaystyle i in I}$ , линейный эндоморфизм ${ displaystyle e_ {i}: от M до M_ {i} hookrightarrow M}$ заданный естественной проекцией, за которой следует естественное включение, является идемпотентом. Они явно ортогональны друг другу ( ${ displaystyle e_ {i} e_ {j} = 0}$ за ${ displaystyle i neq j}$ ) и резюмируют:

{ displaystyle 1 _ { operatorname {M}} = sum _ {i in I} e_ {i}}

как эндоморфизмы (здесь суммирование хорошо определено, поскольку это конечная сумма на каждом элементе модуля). И наоборот, каждый набор ортогональных идемпотентов ${ Displaystyle {е_ {я} } _ {я в I}}$ такое, что только конечное число ${ Displaystyle е_ {я} (х)}$ отличны от нуля для каждого ${ displaystyle x in M}$ и $sum e_ {i} = 1_ {M}$ определить разложение прямой суммы, взяв ${ displaystyle M_ {i}}$ быть изображениями ${ displaystyle e_ {i}}$ .

Этот факт уже накладывает некоторые ограничения на возможное разложение кольца: пусть кольцо ${ displaystyle R}$ , предположим, что существует разложение

{ displaystyle {} _ {R} R = bigoplus _ {a in A} I_ {a}}

из ${ displaystyle R}$ как левый модуль над собой, где ${ displaystyle I_ {a}}$ левые подмодули; т.е. левые идеалы. Каждый эндоморфизм ${ displaystyle {} _ {R} R to {} _ {R} R}$ можно отождествить с правым умножением на элемент р; таким образом, ${ displaystyle I_ {a} = Re_ {a}}$ куда ${ displaystyle e_ {a}}$ являются идемпотентами ${ displaystyle operatorname {End} ({} _ {R} R) simeq R}$ .^[2] Суммирование идемпотентных эндоморфизмов соответствует разложению единицы р: ${ textstyle 1_ {R} = sum _ {a in A} e_ {a} in bigoplus _ {a in A} I_ {a}}$ , которая обязательно является конечной суммой; особенно, ${ displaystyle A}$ должно быть конечным множеством.

Например, возьмите ${ Displaystyle R = { mathsf {M}} _ {n} (D)}$ , кольцо п-к-п матрицы над телом D. потом ${ displaystyle {} _ {R} R}$ прямая сумма п копии ${ displaystyle D ^ {n}}$ , столбцы; каждый столбец - это простой левый р-подмодуль или, другими словами, минимальный левый идеал.^[3]

Позволять р несущий. Предположим, что существует его (обязательно конечное) разложение как левый модуль над собой

{ Displaystyle {} _ {R} R = R_ {1} oplus cdots oplus R_ {n}}

в двусторонние идеалы ${ displaystyle R_ {i}}$ из р. Как указано выше, ${ displaystyle R_ {i} = Re_ {i}}$ для некоторых ортогональных идемпотентов ${ displaystyle e_ {i}}$ такой, что ${ Displaystyle 1 = сумма _ {1} ^ {n} е_ {я}}$ . С ${ displaystyle R_ {i}}$ это идеал, ${ displaystyle e_ {i} R subset R_ {i}}$ и так ${ displaystyle e_ {i} Re_ {j} subset R_ {i} cap R_ {j} = 0}$ за ${ displaystyle i neq j}$ . Затем для каждого я,

{ displaystyle e_ {i} r = sum _ {j} e_ {j} re_ {i} = sum _ {j} e_ {i} re_ {j} = re_ {i}.}

То есть, ${ displaystyle e_ {i}}$ находятся в центр; т.е. они являются центральными идемпотентами.^[4] Ясно, что аргумент можно перевернуть, и поэтому существует взаимно однозначное соответствие между разложением прямой суммы на идеалы и ортогональными центральными идемпотентами, суммирующими до единицы 1. Кроме того, каждый ${ displaystyle R_ {i}}$ само по себе кольцо, единство, данное ${ displaystyle e_ {i}}$ , а как кольцо р кольцо продукта ${ displaystyle R_ {1} times cdots times R_ {n}.}$

Например, снова возьмем ${ Displaystyle R = { mathsf {M}} _ {n} (D)}$ . Это кольцо - простое кольцо; в частности, в нем нет нетривиального разложения на двусторонние идеалы.

Типы разложения

Было изучено несколько типов разложения на прямую сумму:

Полупростая декомпозиция: прямая сумма простых модулей.
Неразложимое разложение: прямая сумма неразложимых модулей.
Разложение с локальными кольцами эндоморфизмов^[5] (ср. # Теорема Адзумая ): прямая сумма модулей, кольца эндоморфизмов которых являются локальными кольцами (кольцо локально, если для каждого элемента Икс, либо Икс или 1 - Икс является единичным элементом).
Серийная декомпозиция: прямая сумма однорядные модули (модуль цепной, если решетка подмодулей представляет собой конечную цепь^[6]).

Поскольку простой модуль неразложим, полупростое разложение является неразложимым (но не наоборот). Если кольцо эндоморфизмов модуля локально, то, в частности, оно не может иметь нетривиального идемпотента: модуль неразложим. Таким образом, разложение с локальными кольцами эндоморфизмов является неразложимым разложением.

Прямое слагаемое называется максимальный если он допускает неразложимое дополнение. Разложение ${ Displaystyle M = bigoplus _ {я in I} M_ {я}}$ говорят дополнять максимальные прямые слагаемые если для каждого максимального прямого слагаемого L из M, существует подмножество ${ displaystyle J subset I}$ такой, что

{ Displaystyle M = left ( bigoplus _ {j in J} M_ {j} right) bigoplus L.}

^[7]

Два разложения ${ displaystyle M = bigoplus _ {i in I} M_ {i} = bigoplus _ {j in J} N_ {j}}$ как говорят эквивалент если есть биекция ${ displaystyle varphi: I { overset { sim} { to}} J}$ так что для каждого ${ displaystyle i in I}$ , ${ Displaystyle M_ {я} simeq N _ { varphi (я)}}$ .^[7] Если модуль допускает неразложимую декомпозицию, дополняющую максимальные прямые слагаемые, то любые два неразложимых разложения модуля эквивалентны.^[8]

Теорема Адзумая

В простейшем виде Теорема Адзумая состояния:^[9] учитывая разложение ${ Displaystyle M = bigoplus _ {я in I} M_ {я}}$ такое, что кольцо эндоморфизмов каждого ${ displaystyle M_ {i}}$ является местный (так что разложение неразложимо), каждое неразложимое разложение M эквивалентно данному разложению. Более точная версия теоремы гласит:^[10] все же учитывая такое разложение, если ${ Displaystyle M = N oplus K}$ , тогда

если не ноль, N содержит неразложимое прямое слагаемое,
если ${ displaystyle N}$ неразложим, его кольцо эндоморфизмов локально^[11] и ${ displaystyle K}$ дополняется данным разложением:
${ textstyle M = M_ {j} oplus K}$ и так ${ Displaystyle M_ {j} simeq N}$ для некоторых ${ displaystyle j in I}$ ,
для каждого ${ displaystyle i in I}$ , существуют прямые слагаемые ${ displaystyle N '}$ из ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle K '}$ из ${ displaystyle K}$ такой, что ${ displaystyle M = M_ {i} oplus N ' oplus K'}$ .

Кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины локально (например, по Лемма Фиттинга ), и, таким образом, теорема Адзумая применима к настройке Теорема Крулля – Шмидта. Действительно, если M является модулем конечной длины, то по индукции по длине он имеет конечное неразложимое разложение ${ textstyle M = bigoplus _ {я = 1} ^ {n} M_ {я}}$ , которое является разложением с локальными кольцами эндоморфизмов. Теперь предположим, что нам дано неразложимое разложение ${ textstyle M = bigoplus _ {я = 1} ^ {m} N_ {я}}$ . Тогда он должен быть эквивалентен первому: так ${ displaystyle m = n}$ и ${ Displaystyle M_ {я} simeq N _ { sigma (я)}}$ для некоторой перестановки ${ displaystyle sigma}$ из ${ Displaystyle {1, точки, п }}$ . Точнее, поскольку ${ displaystyle N_ {1}}$ неразложима, ${ textstyle M = M_ {i_ {1}} bigoplus ( bigoplus _ {i = 2} ^ {n} N_ {i})}$ для некоторых ${ displaystyle i_ {1}}$ . Тогда, поскольку ${ displaystyle N_ {2}}$ неразложима, ${ textstyle M = M_ {i_ {1}} bigoplus M_ {i_ {2}} bigoplus ( bigoplus _ {i = 3} ^ {n} N_ {i})}$ и так далее; т.е. дополнения к каждой сумме ${ textstyle bigoplus _ {я = l} ^ {n} N_ {я}}$ можно рассматривать как прямые суммы некоторых ${ displaystyle M_ {i}}$ с.

Другое приложение - следующее утверждение (которое является ключевым шагом в доказательстве Теорема Капланского о проективных модулях ):

Учитывая элемент ${ displaystyle x in N}$ , существует прямое слагаемое ${ displaystyle H}$ из ${ displaystyle N}$ и подмножество ${ displaystyle J subset I}$ такой, что ${ displaystyle x in H}$ и ${ textstyle H simeq bigoplus _ {j in J} M_ {j}}$ .

Чтобы в этом убедиться, выберите конечное множество ${ displaystyle F subset I}$ такой, что ${ textstyle x in bigoplus _ {j in F} M_ {j}}$ . Затем, написав ${ Displaystyle M = N oplus L}$ , по теореме Адзумая, ${ Displaystyle M = ( oplus _ {j in F} M_ {j}) oplus N_ {1} oplus L_ {1}}$ с некоторыми прямыми слагаемыми ${ displaystyle N_ {1}, L_ {1}}$ из ${ displaystyle N, L}$ а затем модульный закон, ${ Displaystyle N = H oplus N_ {1}}$ с ${ displaystyle H = ( oplus _ {j in F} M_ {j} oplus L_ {1}) cap N}$ . Тогда, поскольку ${ displaystyle L_ {1}}$ является прямым слагаемым ${ displaystyle L}$ , мы можем написать ${ Displaystyle L = L_ {1} oplus L_ {1} '}$ а потом ${ displaystyle oplus _ {j in F} M_ {j} simeq H oplus L_ {1} '}$ , откуда следует, поскольку F конечно, что ${ displaystyle H simeq oplus _ {j in J} M_ {j}}$ для некоторых J повторным применением теоремы Адзумая.

В постановке теоремы Адзумая, если, кроме того, каждый ${ displaystyle M_ {i}}$ является счетно генерируемый, то есть следующее уточнение (первоначально сделанное Кроули – Йонссоном, а затем Уорфилдом): ${ displaystyle N}$ изоморфен ${ displaystyle bigoplus _ {j in J} M_ {j}}$ для некоторого подмножества ${ displaystyle J subset I}$ .^[12] (В некотором смысле это расширение теоремы Капланского и доказывается двумя леммами, использованными в доказательстве теоремы.) Согласно (Facchini 1998 ), неизвестно, было ли предположение " ${ displaystyle M_ {i}}$ счетно сгенерированный "можно отбросить, т.е. эта уточненная версия верна в целом.

Разложение кольца

О разложении кольца - самое основное, но все же важное наблюдение, известное как Теорема Артина – Веддерберна это: дано кольцо р, следующие эквиваленты:

р это полупростое кольцо; т.е. ${ displaystyle {} _ {R} R}$ - полупростой левый модуль.
${ Displaystyle R simeq prod _ {я = 1} ^ {r} { mathsf {M}} _ {m_ {i}} (D_ {i})}$ куда ${ Displaystyle { mathsf {M}} _ {п} (D)}$ обозначает кольцо п-к-п матрицы и положительные целые числа ${ displaystyle r, m_ {1}, dots, m_ {r}}$ определяются р (но ${ displaystyle D_ {i}}$ не определяются р).
Каждый левый модуль над р полупростой.

Чтобы увидеть эквивалентность первых двух, обратите внимание: если ${ textstyle {} _ {R} R simeq bigoplus _ {i = 1} ^ {r} I_ {i} ^ { oplus m_ {i}}}$ куда ${ displaystyle I_ {i}}$ являются взаимно неизоморфными левыми минимальными идеалами, то с учетом того, что эндоморфизмы действуют справа,

{ displaystyle R simeq operatorname {End} ({} _ {R} R) simeq bigoplus _ {i = 1} ^ {r} operatorname {End} (I_ {i} ^ { oplus m_ { я}})}

где каждый ${ displaystyle operatorname {End} (I_ {i} ^ { oplus m_ {i}})}$ можно рассматривать как матричное кольцо над телом ${ displaystyle D_ {i} = operatorname {End} (I_ {i})}$ . (Обратное, потому что разложение 2 эквивалентно разложению на минимальные левые идеалы = простые левые подмодули.) Эквивалентность 1. ${ displaystyle Leftrightarrow}$ 3. потому, что каждый модуль является фактором свободного модуля, а фактор полупростого модуля, очевидно, полупрост.

Смотрите также

чисто инъективный модуль

Примечания

^ Андерсон и Фуллер, Следствие 6.19. и следствие 6.20.
^ Здесь кольцо эндоморфизмов считается действующим справа; если он действует слева, это отождествление для противоположного кольца р.
^ Processi, Гл.6., П. 1.3.
^ Андерсон и Фуллер, Предложение 7.6.
^ (Якобсон, Абзац перед теоремой 3.6.) вызывает модуль сильно неразложимый если ненулевой и имеет локальное кольцо эндоморфизмов.
^ Андерсон и Фуллер, § 32.
^ ^а ^б Андерсон и Фуллер, § 12.
^ Андерсон и Фуллер, Теория 12.4.
^ Факкини, Теорема 2.12.
^ Андерсон и Фуллер, Теорема 12.6. и лемма 26.4.
^ Факкини, Лемма 2.11.
^ Факкини, Следствие 2.55.