Уравнения Дена – Соммервилля - Dehn–Sommerville equations

В математике Уравнения Дена – Соммервилля представляют собой полный набор линейных соотношений между количеством граней разной размерности симплициальный многогранник. Для многогранников размерности 4 и 5 они были найдены Макс Ден в 1905 г. Их общий вид был установлен Дункан Соммервилл в 1927 г. Уравнения Дена – Соммервилля можно переформулировать как условие симметрии час-вектор симплициального многогранника, и это стало стандартной формулировкой в ​​недавней литературе по комбинаторике. По двойственности аналогичные уравнения верны для простые многогранники.

Заявление

Позволять п быть d-размерный симплициальный многогранник. За я = 0, 1, ..., d - 1, пусть ж_я обозначить количество я-размерный лица из п. Последовательность

${displaystyle f (P) = (f_ {0}, f_ {1}, ldots, f_ {d-1})}$

называется ж-вектор многогранника п. Дополнительно установите

${displaystyle f _ {- 1} = 1, f_ {d} = 1.}$

Тогда для любого k = −1, 0, ..., d - 2, следующие Уравнение Дена – Соммервилля держит:

${displaystyle sum _ {j = k} ^ {d-1} (- 1) ^ {j} {inom {j + 1} {k + 1}} f_ {j} = (- 1) ^ {d-1 } f_ {k}.}$

Когда k = −1, он выражает тот факт, что Эйлерова характеристика из (d - 1) -мерный симплициальная сфера равно 1 + (−1)^d − 1.

Уравнения Дена – Соммервилля с разными k не независимы. Есть несколько способов выбрать максимальное независимое подмножество, состоящее из ${extstyle left [{frac {d + 1} {2}} ight]}$ уравнения. Если d даже тогда уравнения с k = 0, 2, 4, ..., d - 2 независимые. Другой независимый набор состоит из уравнений с k = −1, 1, 3, ..., d - 3. Если d нечетно, то уравнения с k = −1, 1, 3, ..., d - 2 образуют одну независимую систему и уравнения с k = −1, 0, 2, 4, ..., d - 3 образуют еще один.

Эквивалентные составы

Соммервилль нашел другой способ сформулировать эти уравнения:

${displaystyle sum _ {i = -1} ^ {k-1} (- 1) ^ {d + i} {inom {di-1} {dk}} f_ {i} = sum _ {i = -1} ^ {dk-1} (- 1) ^ {i} {inom {di-1} {k}} f_ {i},}$

где 0 ≤ k ≤¹⁄₂(d − 1). Это можно еще больше облегчить, введя понятие час-вектор п. За k = 0, 1, ..., d, позволять

${displaystyle h_ {k} = sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {k-i} {inom {d-i} {k-i}} f_ {i-1}.}$

Последовательность

${displaystyle h (P) = (h_ {0}, h_ {1}, ldots, h_ {d})}$

называется час-вектор из п. В ж-вектор и час-векторы однозначно определяют друг друга через соотношение

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {d} f_ {i-1} (t-1) ^ {di} = sum _ {k = 0} ^ {d} h_ {k} t ^ {dk}. }$

Тогда уравнения Дена – Соммервилля можно переформулировать просто как

${displaystyle h_ {k} = h_ {d-k} quad {ext {for}} 0leq kleq d.}$

Уравнения с 0 ≤ k ≤¹⁄₂(d − 1) независимы, а остальные явно им эквивалентны.

Ричард Стэнли дал интерпретацию компонентов час-вектор симплициального выпуклого многогранника п с точки зрения проективный торическое разнообразие Икс связанный с (двойственным)п. А именно, это размеры четного когомологии пересечения группыИкс:

${displaystyle h_ {k} = dim _ {mathbb {Q}} имя оператора {IH} ^ {2k} (X, mathbb {Q})}$

(странный когомологии пересечения группы Икс все равны нулю). На этом языке последняя форма уравнений Дена – Соммервилля, симметрия час-вектор, является проявлением Двойственность Пуанкаре в когомологиях пересеченияИкс.

Рекомендации

• Бранко Грюнбаум, Выпуклые многогранники. Второе издание. Тексты для выпускников по математике, 221, Springer, 2003 г. ISBN  0-387-00424-6
• Ричард Стэнли, Комбинаторика и коммутативная алгебра. Второе издание. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x + 164 с. ISBN  0-8176-3836-9
• Дункан Соммервилл (1927) Соотношения, связывающие суммы углов и объем многогранника в пространстве n измерений Труды Королевского общества Series A 115: 103–19, ссылка на сайт JSTOR.
• Г. Зиглер, Лекции по многогранникам, Springer, 1998. ISBN  0-387-94365-X