H-вектор - H-vector

В алгебраическая комбинаторика, то час-вектор из симплициальный многогранник фундаментальный инвариантный многогранника, который кодирует количество граней разной размерности и позволяет выразить Уравнения Дена – Соммервилля в особенно простой форме. Характеристика набора час-векторы симплициальных многогранников были предположены Питер МакМаллен^[1] и доказано Лу Биллера и Карл В. Ли^[2]^[3] и Ричард Стэнли^[4] (грамм-теорема ). Определение час-vector применяется к произвольным абстрактные симплициальные комплексы. В грамм-гипотеза заявил, что для симплициальные сферы, все возможно час-векторы встречаются уже среди час-векторы границ выпуклых симплициальных многогранников. Это было доказано в декабре 2018 г. Карим Адипрасито.^[5]^[6]

Стэнли представил обобщение час-вектор, торический час-вектор, которая определена для произвольного ранжированный посет, и доказал, что для класса Эйлеровы посеты, уравнения Дена – Соммервилля остаются в силе. Другое, более комбинаторное обобщение час-вектор, который был широко изучен, - это флаг час-вектор ранжированного посета. Для эйлеровых множеств это можно более кратко выразить с помощью некоммутативного многочлена от двух переменных, называемого CD-индекс.

Определение

Пусть Δ - абстрактный симплициальный комплекс измерения d - 1 с ж_я я-мерные грани и ж₋₁ = 1. Эти числа расположены в ж-вектор Δ,

{displaystyle f (Delta) = (f _ {- 1}, f_ {0}, ldots, f_ {d-1}).}

Важный частный случай возникает, когда Δ является границей d-мерный выпуклый многогранник.

За k = 0, 1, …, d, позволять

{displaystyle h_ {k} = sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {k-i} {inom {d-i} {k-i}} f_ {i-1}.}

Кортеж

{displaystyle h (Delta) = (h_ {0}, h_ {1}, ldots, h_ {d})}

называется час-вектор из Δ. В ж-вектор и час-векторы однозначно определяют друг друга посредством линейной зависимости

{displaystyle sum _ {i = 0} ^ {d} f_ {i-1} (t-1) ^ {di} = sum _ {k = 0} ^ {d} h_ {k} t ^ {dk}. }

Позволять р = k[Δ] быть Кольцо Стэнли – Рейснера из Δ. Тогда его Ряд Гильберта – Пуанкаре можно выразить как

{displaystyle P_ {R} (t) = sum _ {i = 0} ^ {d} {frac {f_ {i-1} t ^ {i}} {(1-t) ^ {i}}} = { гидроразрыв {h_ {0} + h_ {1} t + cdots + h_ {d} t ^ {d}} {(1-t) ^ {d}}}.}

Это мотивирует определение час-вектор конечно порожденный положительно градуированная алгебра из Измерение Крулля d в числителе его ряда Гильберта – Пуанкаре, записанного со знаменателем (1 -т)^d.

В час-вектор тесно связан с час^*-вектор для выпуклого решетчатого многогранника, см. Многочлен Эрхарта.

Торический час-вектор

К произвольной градуированной позе п, Стэнли ассоциировал пару многочленов ж(п,Икс) и грамм(п,Икс). Их определение рекурсивно в терминах многочленов, связанных с интервалами [0, y] для всех у ∈ п, y ≠ 1, рассматриваемые как ранжированные множества более низкого ранга (0 и 1 обозначают минимальный и максимальный элементы п). Коэффициенты при ж(п,Икс) образуют торический час-вектор из п. Когда п является Эйлеров позет ранга d +1 такой, что п - 1 симплициальная, торическая час-вектор совпадает с обычным час-вектор, построенный с использованием чисел ж_я элементов п - 1 данного ранга я + 1. В этом случае торический час-вектор п удовлетворяет Уравнения Дена – Соммервилля

{displaystyle h_ {k} = h_ {d-k}.}

Причина прилагательного «торический» - соединение торического час-вектор с когомологии пересечения определенного проективный торическое разнообразие Икс в любое время п - граничный комплекс рационального выпуклого многогранника. А именно, составляющие - это размеры четного когомологии пересечения группы Икс:

{displaystyle h_ {k} = имя оператора {dim} _ {mathbb {Q}} имя оператора {IH} ^ {2k} (X, mathbb {Q})}

(странный когомологии пересечения группы Икс все равны нулю). Уравнения Дена – Соммервилля являются проявлением Двойственность Пуанкаре в когомологиях пересечения Икс. Калле Кару доказал, что торический час-вектор многогранника унимодален, независимо от того, рациональный многогранник или нет.^[7]

Флаг час-вектор и CD-индекс

Другое обобщение представлений о ж-вектор и час-вектор выпуклого многогранника широко изучен. Позволять ${displaystyle P}$ быть конечным градуированный посет ранга п, так что каждый максимальная цепь в ${displaystyle P}$ имеет длину п. Для любого ${displaystyle S}$ , подмножество ${displaystyle left {0, ldots, night}}$ , позволять ${displaystyle alpha _ {P} (S)}$ обозначим количество цепочек в ${displaystyle P}$ чьи ранги составляют множество ${displaystyle S}$ . Более формально, пусть

{displaystyle rk: P o {0,1, ldots, n}}

быть ранговой функцией ${displaystyle P}$ и разреши ${displaystyle P_ {S}}$ быть ${displaystyle S}$ -ранжировать выбранное подмножество, который состоит из элементов из ${displaystyle P}$ чье звание в ${displaystyle S}$ :

{displaystyle P_ {S} = {xin P: rk (x) in S}.}

потом ${displaystyle alpha _ {P} (S)}$ - количество максимальных цепей в ${displaystyle P_ {S}}$ и функция

{displaystyle Smapsto alpha _ {P} (S)}

называется флаг ж-вектор из п. Функция

{displaystyle Smapsto eta _ {P} (S), quad eta _ {P} (S) = sum _ {Tsubseteq S} (- 1) ^ {| S | - | T |} альфа _ {P} (S) }

называется флаг час-вектор из ${displaystyle P}$ . Посредством принцип включения-исключения,

{displaystyle alpha _ {P} (S) = sum _ {Tsubseteq S} eta _ {P} (T).}

Флаг ж- и час-векторы ${displaystyle P}$ усовершенствовать обычный ж- и час-векторы его комплекс заказов ${displaystyle Delta (P)}$ :^[8]

{displaystyle f_ {i-1} (Delta (P)) = sum _ {| S | = i} alpha _ {P} (S), quad h_ {i} (Delta (P)) = sum _ {| S | = i} eta _ {P} (S).}

Флаг час-вектор ${displaystyle P}$ можно отобразить через многочлен от некоммутативных переменных а и б. Для любого подмножества ${displaystyle S}$ из {1,…,п}, определим соответствующий моном в а и б,

{displaystyle u_ {S} = u_ {1} cdots u_ {n}, quad u_ {i} = a {ext {for}} iotin S, u_ {i} = b {ext {for}} iin S.}

Тогда некоммутативная производящая функция для флага час-вектор п определяется

{displaystyle Psi _ {P} (a, b) = sum _ {S} eta _ {P} (S) u_ {S}.}

Из отношения между α_п(S) и β_п(S) некоммутативная производящая функция для флага ж-вектор п является

{displaystyle Psi _ {P} (a, a + b) = sum _ {S} alpha _ {P} (S) u_ {S}.}

Маргарет Байер и Луи Биллера определены наиболее общие линейные соотношения, которые выполняются между компонентами флага час-вектор Эйлеров позет п. ^[9]

Файн отметил элегантный способ сформулировать эти соотношения: существует некоммутативный многочлен Φ_п(c,d), называется CD-индекс из п, так что

{displaystyle Psi _ {P} (a, b) = Phi _ {P} (a + b, ab + ba).}

Стэнли доказал, что все коэффициенты CD-индекс граничного комплекса выпуклого многогранника неотрицательны. Он предположил, что этот феномен позитивности сохраняется для более общего класса эйлеровых положений, которые Стэнли называет Горенштейн * комплексы и который включает симплициальные сферы и полные фанаты. Это предположение было доказано Калле Кару.^[10] Комбинаторный смысл этих неотрицательных коэффициентов (ответ на вопрос «что они считают?») Остается неясным.

дальнейшее чтение

Стэнли, Ричард (1996), Комбинаторика и коммутативная алгебра, Успехи в математике, 41 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-3836-9.
Стэнли, Ричард (1997), Перечислительная комбинаторика, 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-55309-1.

[1] Макмаллен, Питер (1971), "Число граней симплициальных многогранников", Израильский математический журнал, 9 (4): 559–570, Дои:10.1007 / BF02771471, МИСТЕР 0278183.

[2] Биллера, Луи; Ли, Карл (1980), "Достаточность условий МакМаллена для f-векторов симплициальных многогранников", Бюллетень Американского математического общества, 2 (1): 181–185, Дои:10.1090 / s0273-0979-1980-14712-6, МИСТЕР 0551759.

[3] Биллера, Луи; Ли, Карл (1981), "Доказательство достаточности условий МакМаллена для f-векторов симплициальных выпуклых многогранников", Журнал комбинаторной теории, серия А, 31 (3): 237–255, Дои:10.1016/0097-3165(81)90058-3.

[4] Стэнли, Ричард (1980), "Число граней симплициального выпуклого многогранника", Успехи в математике, 35 (3): 236–238, Дои:10.1016 / 0001-8708 (80) 90050-Х, МИСТЕР 0563925.

[5] Калаи, Гил (2018-12-25). «Удивительно: Карим Адипрасито доказал g-гипотезу для сфер!». Комбинаторика и не только. Получено 2019-06-12.

[6] Адипрасито, Карим (26 декабря 2018 г.). «Комбинаторные теоремы Лефшеца за пределами положительности». arXiv:1812.10454v3. Bibcode:2018arXiv181210454A. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[7] Кару, Калле (2004-08-01). «Жесткая теорема Лефшеца для нерациональных многогранников». Inventiones Mathematicae. 157 (2): 419–447. arXiv:математика / 0112087. Дои:10.1007 / s00222-004-0358-3. ISSN 1432-1297.

[8] Стэнли, Ричард (1979), «Сбалансированные комплексы Коэна-Маколея», Труды Американского математического общества, 249 (1): 139–157, Дои:10.2307/1998915, JSTOR 1998915.

[9] Байер, Маргарет М. и Биллера, Луи Дж. (1985), "Обобщенные отношения Дена-Соммервилля для многогранников, сфер и эйлеровых частично упорядоченных множеств", Inventiones Mathematicae 79: 143-158. DOI: 10.1007 / BF01388660.

[10] Кару, Калле (2006), "The CD-индекс веера и посец », Compositio Mathematica, 142 (3): 701–718, Дои:10.1112 / S0010437X06001928, МИСТЕР 2231198.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

H-вектор - H-vector

Содержание

Определение

Торический час-вектор

Флаг час-вектор и CD-индекс

Рекомендации

дальнейшее чтение