Градуированный посет - Graded poset

А набор мощности, частично заказанный к включение с рангом, определяемым как количество элементов, образует градуированный набор.

В математика, в ветке комбинаторика, а градуированный посет это частично заказанный набор (посет) п оснащен функция ранга ρ из п к набору N из всех натуральные числа. ρ должен удовлетворять следующим двум свойствам:

• Функция ранга совместима с упорядочением, что означает, что для каждого Икс и у в порядке с Икс < у, должно быть так, что ρ(Икс) < ρ(у), и
• Ранг соответствует покрывающее отношение порядка, что означает, что для каждого Икс и у для которого у охватывает Икс, должно быть так, что ρ(у) = ρ(Икс) + 1.

Значение функции ранга для элемента чугуна называется его классифицировать. Иногда градуированный позет называют ранжированный посет но у этой фразы есть другие значения; видеть Ранговый посет. А классифицировать или же уровень ранга градуированного ЧУМа - это подмножество всех элементов ЧУМа, которые имеют заданное значение ранга.^[1][2]

Градуированные позы играют важную роль в комбинаторика и может быть визуализирован с помощью Диаграмма Хассе.

Примеры

Вот некоторые примеры градуированных положений (с функцией ранга в скобках):

• натуральные числа N, с их обычным порядком (ранг: само число) или некоторым интервалом [0,N] этого набора,
• N^п, с заказ продукта (сумма компонентов) или ее подмножество, которое является продуктом интервалов,
• положительные целые числа, упорядоченные по делимости (количество простых множителей, считаемых с кратностью), или их подмножество, образованное делителями фиксированного N,
• то Логическая решетка конечных подмножеств множества (количество элементов подмножества),
• решетка перегородки множества на конечное число частей, упорядоченных обратным уточнением (количество частей),
• решетка перегородки конечного множества Икс, упорядоченные по уточнению (количество элементов Икс минус количество деталей),
• группа и генераторная установка, или, что то же самое, ее Граф Кэли по приказу слабых или сильных Заказ Брюа, и в рейтинге длина слова (длина кратчайшего сокращенного слова).
  • В частности для Группы Кокстера, Например перестановки полностью заказанного п-элементный набор, со слабым или сильным Заказ Брюа (количество соседних инверсий),
• геометрические решетки, например, решетка подпространств векторное пространство (размерность подпространства),
• то распределительная решетка конечных нижние наборы другого посета (количества элементов),
• Решетка Юнга, частный экземпляр предыдущего примера (количество квадратов на диаграмме Юнга),
• решетки для лица из выпуклые многогранники (размер лица плюс один),
• абстрактные многогранники («расстояние» от наименьшей грани минус один),
• абстрактные симплициальные комплексы (количество элементов симплекса).

Альтернативные характеристики

Решетка N₅ нельзя оценивать.

А ограниченный позет^[3] допускает оценку тогда и только тогда, когда все максимальные цепи в п иметь одинаковую длину:^[4] установка ранга наименьшего элемента на 0 затем полностью определяет ранговую функцию. Это охватывает множество конечных интересных случаев; см. картинку для отрицательного примера. Однако неограниченные позы могут быть более сложными.

Функция ранга кандидата, совместимая с упорядочиванием, превращает poset в градуированный poset тогда и только тогда, когда, всякий раз, когда есть Икс < z с z ранга п+1, элемент у ранга п можно найти с Икс ≤ у < z. Этого условия достаточно, потому что если z считается прикрытием Икс, единственный возможный выбор - у = Икс показывая, что ряды Икс и z отличаться на 1, и это необходимо, потому что в градуированном poset можно принять за у любой элемент максимального ранга с Икс ≤ у < z, который всегда существует и покрывается z.

Часто poset приходит с естественным кандидатом на функцию ранга; например, если его элементы являются конечными подмножествами некоторого базового набора B, можно взять количество элементов этих подмножеств. Тогда только что данный критерий может быть более практичным, чем определение, поскольку он избегает упоминания обложек. Например, если B сам по себе позет, и п состоит из своих конечных нижние наборы (подмножества, для которых с каждым из его элементов все меньшие элементы также находятся в подмножестве), то критерий автоматически выполняется, поскольку для нижних множеств Икс ⊆ z всегда есть максимальный элемент из z что отсутствует в Икс, и его можно удалить из z формировать у.

В некоторых общих позах, таких как лицевая решетка из выпуклый многогранник есть естественная оценка по измерение, которая, если использовать ее в качестве функции ранга, даст минимальному элементу, пустой грани, ранг –1. В таких случаях может быть удобно изменить приведенное выше определение, добавив значение –1 к набору значений, разрешенных для функции ранга. Однако разрешение произвольных целых чисел в качестве ранга дало бы принципиально иное понятие; например, существование минимального элемента больше не будет гарантировано.

Градуированный набор (с положительными целыми рангами) не может иметь никаких элементов Икс для которых сколь угодно долго цепи с величайшим элементом Икс существуют, так как в противном случае он должен был бы иметь элементы произвольно малого (и в конечном итоге отрицательного) ранга. Например, целые числа (с обычным порядком) не может быть градуированным чумом, равно как и любой интервал (с более чем одним элементом) рациональных или действительные числа. (В частности, оцениваемые позы обоснованный, что означает, что они удовлетворяют состояние нисходящей цепочки (DCC): они не содержат бесконечные нисходящие цепочки.^[5]) Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только те послеты, в которых этого не происходит. Это означает, что всякий раз, когда Икс < у мы можем получить от Икс к у многократно выбирая обложку, конечное число раз. Это также означает, что (для функций положительного целого ранга) совместимость ρ при заказе следует из требования о чехлах. Как вариант определения градуированного позета Биркгоф^[6] позволяет ранговым функциям иметь произвольные (а не только неотрицательные) целочисленные значения. В этом варианте целые числа могут быть оценены (функцией идентичности) в его настройках, и совместимость рангов с упорядочением не является избыточной. Как третий вариант, Брайтвелл и Уэст^[7] определить функцию ранга как целочисленную, но не требовать ее совместимости с порядком; следовательно, этот вариант может оцениваться даже, например, действительные числа любой функцией, так как требования к покрытиям пустой для этого примера.

Обратите внимание, что оцененные позы не обязательно удовлетворяют условие возрастающей цепи (ACC): например, натуральные числа содержат бесконечную восходящую цепочку ${ Displaystyle 0 <1 <2 < cdots}$.

ЧУМ считается градуированным тогда и только тогда, когда каждая связная компонента его график сопоставимости градуируется, поэтому дальнейшие характеристики предполагают, что этот граф сопоставимости связан. На каждой компоненте связности функция ранга уникальна только с точностью до равномерного сдвига (так что функцию ранга всегда можно выбрать так, чтобы элементы минимального ранга в их компоненте связности имели ранг 0).

Если п имеет наименьший элемент Ô тогда оценка эквивалентна условию, что для любого элемента Икс все максимальные цепи в интервал [Ô,Икс] имеют одинаковую длину. Это условие необходимо, поскольку каждый шаг в максимальной цепи является отношением покрытия, которое должно изменять ранг на 1. Это условие также является достаточным, поскольку, когда оно выполняется, можно использовать указанную длину для определения ранга Икс (длина конечной цепочки - это ее количество "шагов", поэтому на единицу меньше, чем количество ее элементов), и всякий раз, когда Икс охватывает у, примыкающий Икс максимальной цепи в [Ô,у] дает максимальную цепь в [Ô,Икс].

Если п также есть величайший элемент Î (так что это ограниченный позет ), то предыдущее условие можно упростить до требования, чтобы все максимальные цепи в п имеют одинаковую (конечную) длину. Этого достаточно, поскольку любая пара максимальных цепей в [Ô,Икс] продолжается максимальной цепью в [Икс, Î], чтобы получить пару максимальных цепей в п.

Примечание Стэнли определяет poset как сортируется по длине п если все его максимальные цепи имеют длину п (Стэнли 1997, стр.99). Это определение дается в контексте, где интерес в основном проявляется в конечных позициях, и хотя в книге впоследствии часто опускается часть длины п", кажется неуместным использовать это как определение" градуированного "для общих множеств, потому что (1) он ничего не говорит о множествах, максимальные цепочки которых бесконечны, в частности (2) он исключает важные множества, такие как Решетка Юнга. Также непонятно, почему в градуированном множестве все минимальные элементы, а также все максимальные элементы должны иметь одинаковую длину, даже если Стэнли приводит примеры, поясняющие, что он действительно имеет в виду это требование (там же, стр. 216). и 219).

Обычный случай

Многие авторы в комбинаторика определить оцениваемые позы таким образом, чтобы все минимальные элементы из п должен иметь ранг 0, и, кроме того, существует максимальный ранг р это ранг любого максимального элемента. Тогда градуировка означает, что все максимальные цепи имеют длину р, как указано выше. В этом случае говорят, что п имеет звание р.

Кроме того, в этом случае уровни ранга связаны числа ранга или же Числа Уитни ${ displaystyle W_ {0}, W_ {1}, W_ {2}, ...}$. Эти числа определены ${ displaystyle W_ {i}}$ = количество элементов п имеющий звание я.

В Числа Уитни связаны со многими важными комбинаторными теоремы. Классический пример: Теорема Спернера, который можно сформулировать следующим образом:

Для powerset ${ Displaystyle { mathcal {P}} (S)}$ каждого конечный набор ${ displaystyle S}$ максимум мощность из Семья Спернер равно максимум Число Уитни.

Это означает:

Каждый конечный powerset имеет Спернер недвижимость

Смотрите также

• Оценка (математика)
• Предварительный заказ - предварительный порядок с нормой аналогичен градуированному положению, заменяя отображение целых чисел на отображение порядковых чисел
• Звездный продукт, метод объединения двух градуированных поз.

Примечания

Рекомендации

• Стэнли, Ричард (1997). Перечислительная комбинаторика (том 1, Кембриджские исследования по высшей математике 49). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-66351-2.
• Андерсон, Ян (1987). Комбинаторика конечных множеств. Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press. ISBN  0-19-853367-5.
• Энгель, Конрад (1997). Теория Спернера. Кембридж, Великобритания (и др.): Cambridge University Press. ISBN  0-521-45206-6.
• Кунг, Джозеф П. С .; Рота, Джан-Карло; Ян, Екатерина Х. (2009). Комбинаторика: путь Роты. Кембридж, Великобритания (и др.): Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-73794-4.