Другой идеал - Википедия - Different ideal

В алгебраическая теория чисел, то другой идеал (иногда просто разные) определяется для измерения (возможного) отсутствия двойственности в кольцо целых чисел из поле алгебраических чисел K, с уважением к полевой след. Затем он кодирует разветвление данные для главные идеалы кольца целых чисел. Он был представлен Ричард Дедекинд в 1882 г.^[1][2]

Определение

Если О_K кольцо целых чисел K, и tr обозначает след поля от K к поле рациональных чисел Q, тогда

${ Displaystyle х mapsto mathrm {tr} ~ х ^ {2}}$

является интегральная квадратичная форма на О_K. Его дискриминант поскольку квадратичная форма не обязательно должна быть +1 (на самом деле это происходит только для случая K = Q). Определить инвертировать разные или же различный^[3][4] или же Дополнительный модуль Дедекинда^[5] как набор я из Икс ∈ K такой, что tr (ху) является целым числом для всех у в О_K, тогда я это дробный идеал из K содержащий О_K. По определению другой идеал δ_K обратный дробный идеал я⁻¹: это идеал О_K.

В идеальная норма из δ_K равен идеалу Z генерируется дискриминант поля D_K изK.

В отличается от элемента α из K с минимальным полиномом ж определяется как δ (α) = ж′ (Α), если α порождает поле K (и ноль в противном случае):^[6] мы можем написать

${ Displaystyle дельта ( альфа) = прод влево ({ альфа - альфа ^ {(я)}} вправо) }$

где α^(я) пробегают все корни характеристического многочлена α, кроме самого α.^[7] Другой идеал порождается разностями всех целых чисел α в О_K.^[6][8] Это первоначальное определение Дедекинда.^[9]

Другое также определено для расширение конечной степени из местные поля. Он играет основную роль в Понтрягинская двойственность за p-адические поля.

Относительно разные

В относительно разные δ_L / K аналогичным образом определяется для расширения числовых полей L / K. В относительная норма относительной разности тогда равна относительному дискриминанту Δ_L / K.^[10] В башня полей L / K / F относительные разности связаны соотношением δ_L / F = δ_L / Kδ_K / F.^[5][11]

Относительное различное равно аннигилятору относительного Кэлер дифференциал модуль ${ displaystyle Omega _ {O_ {L} / O_ {K}} ^ {1}}$:^[10][12]

${ displaystyle delta _ {L / K} = {x in O_ {L}: x mathrm {d} y = 0 { text {for all}} y in O_ {L} }.}$

В идеальный класс относительных различных δ_L / K всегда квадрат в классная группа из О_L, кольцо целых чисел L.^[13] Поскольку относительный дискриминант является нормой относительного различия, он представляет собой квадрат класса в группе классов О_K:^[14] действительно, это квадрат Класс Стейница за О_L как О_K-модуль.^[15]

Разветвление

Относительное различное кодирует разветвление данные расширения поля L / K. Главный идеал п из K разветвляется в L если факторизация п в L содержит штрих из L в степень выше 1: это происходит тогда и только тогда, когда п делит относительный дискриминант Δ_L / K. Точнее, если

п = п₁^е(1) ... п_k^е(k)

это факторизация п в главные идеалы L тогда п_я делит относительные различные δ_L / K если и только если п_я разветвлен, то есть тогда и только тогда, когда индекс ветвления е(я) больше 1.^[11][16] Точная экспонента, до которой разветвленное простое число п делит δ, называется дифференциальный показатель из п и равен е - 1 если п является аккуратно разветвленный: то есть когда п не разделяет е.^[17] В случае, когда п является дико разветвленный дифференциальный показатель лежит в диапазоне е к е + еν_п(д) - 1.^[16][18][19] Дифференциальный показатель может быть вычислен из порядков высшие группы ветвления для расширений Галуа:^[20]

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ { infty} (| G_ {i} | -1).}$

Локальное вычисление

Другое может быть определено для расширения локальных полей L / K. В этом случае мы можем принять расширение как просто, порожденный примитивным элементом α, который также порождает интегральная основа мощности. Если ж является минимальным многочленом для α, то разное порождаетсяf '(α).

Примечания

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики. Перевод Мелдрам, Джон. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-64767-6. МИСТЕР  1290116.
• Дедекинд, Ричард (1882), "Über die Discriminanten endlicher Körper", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 29 (2): 1–56. Проверено 5 августа 2009 г.
• Фрёлих, Альбрехт; Тейлор, Мартин (1991), Алгебраическая теория чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 27, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-36664-X, Zbl  0744.11001
• Гекке, Эрих (1981), Лекции по теории алгебраических чисел, Тексты для выпускников по математике, 77, переведенный Джорджем Брауэром; Джей Р. Голдман; при содействии Р. Котцена, Нью-Йорк – Гейдельберг – Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-90595-2, Zbl  0504.12001
• Наркевич, Владислав (1990), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е, существенно переработанное и дополненное изд.), Springer-Verlag; PWN-Польские научные издательства, ISBN  3-540-51250-0, Zbl  0717.11045
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. МИСТЕР  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля, Тексты для выпускников по математике, 67, переведено Гринберг, Марвин Джей, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90424-7, Zbl  0423.12016
• Вайс, Эдвин (1976), Алгебраическая теория чисел (2-е изд. Без изменений), Chelsea Publishing, ISBN  0-8284-0293-0, Zbl  0348.12101