Диофантова пятерка - Diophantine quintuple

В математике диофантовый мпара это набор м положительные целые числа такой, что идеальный квадрат для любого .[1] Набор м положительные рациональные числа с тем же свойством, что произведение любых двух на единицу меньше, чем рациональный квадрат известен как рациональный диофантов мпара.

Диофантин м- пары

Первую диофантовую четверку нашел Ферма: .[1] Это было доказано в 1969 году Бейкером и Давенпортом. [1] что пятое натуральное число не может быть добавлено к этому набору. Эйлер смог расширить этот набор, добавив рациональное число.[1]

Вопрос о существовании (целое число Диофантовы пятерки были одной из старейших нерешенных проблем теории чисел. 2004 г. Андрей Дужелла показал, что существует не более конечного числа диофантовых пятерок.[1] В 2016 году Хе, Тогбе и Зиглер показали, что таких пятерок не существует.[2]

Как доказал Эйлер, всякую диофантову пару можно продолжить до диофантовой четверки. То же верно для любой диофантовой тройки. В обоих этих типах расширения, как и в четверке Ферма, можно добавить пятое рациональное число, а не целое.[3]

Рациональный случай

Диофант сам нашел рациональную диофантовую четверку .[1] Совсем недавно Филип Гиббс нашел наборы из шести положительных рациональных чисел с этим свойством.[4] Неизвестно, есть ли какие-либо более рациональные диофантовы м-наборы существуют или даже если существует верхняя граница, но известно, что не существует бесконечного набора рациональных чисел со свойством.[5]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж Дужелла, Андрей (Январь 2006 г.). «Диофантовых пятерок конечное число». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 2004 (566): 183–214. CiteSeerX  10.1.1.58.8571. Дои:10.1515 / crll.2004.003.
  2. ^ Он, Б .; Togbé, A .; Циглер, В. (2016). «Диофантовой пятерки не бывает». Труды Американского математического общества. arXiv:1610.04020.
  3. ^ Аркин, Иосиф; Хоггатт, В. Э., мл.; Штраус, Э. (1979). «О решении Эйлером проблемы Диофанта» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 17 (4): 333–339. МИСТЕР  0550175.
  4. ^ Гиббс, Филип (1999). "Обобщенное дерево Штерна-Броко из правильных диофантовых четверок". arXiv:math.NT / 9903035v1.
  5. ^ Herrmann, E .; Pethoe, A .; Циммер, Х. Г. (1999). «О четверных уравнениях Ферма». Математика. Сем. Univ. Гамбург. 69: 283–291. Дои:10.1007 / bf02940880.

внешняя ссылка