Метод прямой множественной съемки - Direct multiple shooting method

В районе математика известный как числовые обыкновенные дифференциальные уравнения, то метод прямой множественной съемки это численный метод для решения краевые задачи. Метод делит интервал, на котором ищется решение, на несколько меньших интервалов, решает задачу начального значения в каждом из меньших интервалов и накладывает дополнительные условия согласования для формирования решения на всем интервале. Этот метод представляет собой значительное улучшение распределения нелинейности и численная стабильность по одиночке методы стрельбы.

Методы одиночной съемки

Методы стрельбы могут использоваться для решения краевых задач (BVP), таких как

{ displaystyle y '' (t) = е (t, y (t), y '(t)), quad y (t_ {a}) = y_ {a}, quad y (t_ {b}) = y_ {b},}

в какие моменты времени т_а и т_б известны и мы ищем

{ displaystyle y (t), quad t in (t_ {a}, t_ {b}).}

Методы одиночной съемки действуют следующим образом. Позволять у(т; т₀, у₀) обозначают решение начальной задачи (IVP)

{ displaystyle y '' (t) = е (t, y (t), y '(t)), quad y (t_ {0}) = y_ {0}, quad y' (t_ {0} ) = p}

Определите функцию F(п) как разница между у(т_б; п) и заданное граничное значение у_б: F(п) = у(т_б; п) − у_б. Тогда для каждого решения (у_а, у_б) краевой задачи имеем у_а=у₀ пока у_б соответствует корень из F. Этот корень можно решить любым метод поиска корней при условии выполнения определенных зависящих от метода предпосылок. Это часто требует первоначальных предположений, чтобы у_а и у_б. Как правило, аналитический поиск корня невозможен, и итерационные методы, такие как Метод Ньютона используются для этой задачи.

Применение одиночной съемки для численного решения краевых задач имеет несколько недостатков.

Для данного начального значения у₀ очевидно, что решение IVP должно существовать на интервале [т_а,т_б], чтобы мы могли оценить функцию F чей корень ищется.

Для сильно нелинейных или нестабильных ОДУ это требует первоначального предположения у₀ быть очень близким к действительному, но неизвестному решению у_а. Начальные значения, которые немного отличаются от истинного решения, могут привести к сингулярностям или поломке метода решателя ODE. Однако выбор таких решений неизбежен в итеративном методе поиска корней.

Числа конечной точности могут вообще сделать невозможным нахождение начальных значений, которые позволяют решить ОДУ на всем интервале времени.
Нелинейность ОДУ фактически превращается в нелинейность F, и требует методики поиска корней, способной решать нелинейные системы. Такие методы обычно сходятся медленнее по мере того, как нелинейности становятся более серьезными. От этого страдает производительность решателя краевых задач.
Даже стабильные и хорошо обусловленные ODE могут быть причиной нестабильных и плохо обусловленных BVP. Небольшое изменение предположения начального значения у₀ может привести к очень большому шагу в решении ODE у(т_б; т_а, у₀), а значит, и в значениях функции F чей корень ищется. Неаналитические методы поиска корней редко могут справиться с таким поведением.

Многократная стрельба

Метод прямой множественной съемки разделяет интервал [т_а, т_б] путем введения дополнительных точек сетки

{ displaystyle t_ {a} = t_ {0}

.

Метод начинается с того, что каким-то образом угадывает значения у во всех точках сетки т_k с 0 ≤ k ≤ N - 1. Обозначим эти догадки через у_k. Позволять у(т; т_k, у_k) обозначают решение, исходящее из k-я точка сетки, то есть решение начальной задачи

{ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), quad y (t_ {k}) = y_ {k}.}

Все эти решения могут быть соединены вместе, чтобы сформировать непрерывную траекторию, если значения у совпадать в точках сетки. Таким образом, решениям краевой задачи соответствуют решения следующей системы N уравнения:

{ displaystyle { begin {align} & y (t_ {1}; t_ {0}, y_ {0}) = y_ {1} & qquad qquad vdots & y (t_ {N-1} ; t_ {N-2}, y_ {N-2}) = y_ {N-1} & y (t_ {N}; t_ {N-1}, y_ {N-1}) = y_ {b} . end {выравнивается}}}

Центральный N−2 уравнения являются условиями согласования, а первое и последнее уравнения являются условиями у(т_а) = у_а и у(т_б) = у_б из краевой задачи. Метод множественной стрельбы решает краевую задачу путем решения этой системы уравнений. Обычно модификация Метод Ньютона используется для последней задачи.

Множественная съемка и методы параллельности во времени

Для получения параллельно решатели для проблемы начального значения.^[1]Например, Парареальный Метод параллельного во времени интегрирования может быть получен как алгоритм множественной съемки со специальной аппроксимацией Якобиан.^[2]

Метод прямой множественной съемки - Direct multiple shooting method

Содержание

Методы одиночной съемки

Многократная стрельба

Множественная съемка и методы параллельности во времени

Рекомендации