Метод стрельбы - Википедия - Shooting method

В числовой анализ, то метод стрельбы это метод решения краевая задача сводя его к системе проблема начального значения. Грубо говоря, мы «стреляем» по траекториям в разные стороны, пока не найдем траекторию с желаемым граничным значением. Следующее изложение может быть пояснено этим. иллюстрация способа стрельбы.

Для краевой задачи второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение, метод изложен следующим образом.

${ displaystyle y '' (t) = е (t, y (t), y '(t)), quad y (t_ {0}) = y_ {0}, quad y (t_ {1}) = г_ {1}}$

- краевая задача. у(т; а) обозначают решение начальной задачи

${ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), quad y (t_ {0}) = y_ {0}, quad y' (t_ {0} ) = а}$

Определите функцию F(а) как разница между у(т₁; а) и заданное граничное значение у₁.

${ Displaystyle F (а) = y (t_ {1}; а) -y_ {1} ,}$

Если F имеет корень а тогда решение у(т; а) соответствующей начальной задачи также является решением краевой задачи. И наоборот, если краевая задача имеет решение у(т), тогда у(т) также является единственным решением у(т; а) начальной задачи где а = у'(т₀), таким образом а это корень F.

Здесь можно использовать обычные методы поиска корней, такие как метод деления пополам или же Метод Ньютона.

Происхождение термина

Термин «метод стрельбы» берет свое начало в артиллерии. При стрельбе из пушки по цели первый выстрел производится в общем направлении цели. Если ядро ​​попадает слишком далеко вправо, орудие направляется немного влево для второго выстрела, и наоборот. Таким образом, ядра будут попадать все ближе к цели.

Линейный метод стрельбы

Краевая задача линейна, если ж имеет форму

${ Displaystyle е (т, у (т), у '(т)) = п (т) у' (т) + д (т) у (т) + г (т). ,}$

В этом случае решение краевой задачи обычно дает:

${ displaystyle y (t) = y _ {(1)} (t) + { frac {y_ {1} -y _ {(1)} (t_ {1})} {y _ {(2)} (t_ { 1})}} y _ {(2)} (t)}$

куда ${ Displaystyle у _ {(1)} (т)}$ является решением задачи начального значения:

${ Displaystyle у _ {(1)} '' (т) = п (т) у _ {(1)} '(т) + д (т) у _ {(1)} (т) + г (т), quad y _ {(1)} (t_ {0}) = y_ {0}, quad y _ {(1)} '(t_ {0}) = 0,}$

и ${ Displaystyle у _ {(2)} (т)}$ является решением задачи начального значения:

${ displaystyle y _ {(2)} '' (t) = p (t) y _ {(2)} '(t) + q (t) y _ {(2)} (t), quad y _ {(2 )} (t_ {0}) = 0, quad y _ {(2)} '(t_ {0}) = 1.}$

Видеть доказательство для точного условия, при котором выполняется этот результат.

Пример

А краевая задача дается Стоером и Булиршем следующим образом^[1] (Раздел 7.3.1).

${ displaystyle w '' (t) = { frac {3} {2}} w ^ {2}, quad w (0) = 4, quad w (1) = 1}$

В проблема начального значения

${ displaystyle w '' (t) = { frac {3} {2}} w ^ {2}, quad w (0) = 4, quad w '(0) = s}$

было решено для s = −1, −2, −3, ..., −100 и F(s) = ш(1;s) - 1 нанесено на первый рисунок. F, мы видим, что есть корни вблизи −8 и −36. Некоторые траектории ш(т;s) показаны на втором рисунке.

Стоер и Булирш^[1] утверждают, что есть два решения, которые могут быть найдены алгебраическими методами, они соответствуют начальным условиям ш′ (0) = −8 и ш′ (0) = −35,9 (приблизительно).

Функция F(s) = ш(1;s) − 1.

Траектории ш(т;s) за s = ш'(0) равным -7, -8, -10, -36 и -40. Точка (1,1) отмечена кружком.

Смотрите также

• Метод прямой множественной съемки
• Расчет ослабления радиоволн в атмосфере

Примечания

Рекомендации

• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 18.1. Метод стрельбы». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.

внешняя ссылка

• Краткое описание ODEPACK (в Netlib; содержит LSODE)
• Съемочный метод решения краевых задач - Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica в Институт целостных численных методов [1]