Искажение (математика) - Википедия - Distortion (mathematics)

В математика, то искажение является мерой суммы, на которую функция от Евклидова плоскость себе искажает круги в эллипсы. Если искажение функции равно единице, то это конформный; если искажение ограничено и функция гомеоморфизм, то это квазиконформный. Искажение функции плоскости дается выражением

${ Displaystyle H (z, f) = limsup _ {r to 0} { frac { max _ {| h | = r} | f (z + h) -f (z) |} { min _ {| h | = r} | f (z + h) -f (z) |}}}$

который является предельным эксцентриситетом эллипса, полученного приложением к маленьким кругам с центром вz. С этим геометрическим определением часто очень трудно работать, и необходимые аналитические характеристики могут быть экстраполированы на следующее определение. Отображение ƒ : Ω →р² от открытой области на плоскости к плоскости имеет конечное искажение в точке Икс ∈ Ω, если ƒ находится в Соболевское пространство W^1,1
_место(Ω,р²), Определитель якобиана J (Икс, ƒ) локально интегрируемо и не меняет знака в Ω, и существует измеримая функция K(Икс) ≥ 1 такое, что

${ Displaystyle | Df (х) | ^ {2} Leq К (х) | J (х, f) |}$

почти всюду. Здесь Df это слабая производная ƒ, и |Df| это Норма Гильберта – Шмидта.

Для функций многомерного Евклидово пространство р^п, есть больше мер искажения, потому что имеется более двух главные оси симметричного тензора. Точечная информация содержится в тензор искажения

${ displaystyle G (x, f) = { begin {cases} | J (x, f) ^ {- 2 / n} D ^ {T} f (x) Df (x) & { text {if} } J (x, f) not = 0 I & { text {if}} J (x, f) = 0. End {case}}}$

Внешнее искажение K_О и внутреннее искажение K_я определяются через Коэффициенты Рэлея

${ Displaystyle K_ {O} (х) = sup _ { xi not = 0} { frac { langle G (x) xi, xi rangle ^ {n / 2}} {| xi | ^ {n}}}, quad K_ {O} (x) = sup _ { xi not = 0} { frac { langle G ^ {- 1} (x) xi, xi rangle ^ {n / 2}} {| xi | ^ {n}}}.}$

Внешнее искажение также можно охарактеризовать с помощью неравенства, аналогичного приведенному в двумерном случае. Если Ω - открытое множество в р^п, то функция ƒ ∈ W^1,1
_место(Ω,р^п) имеет конечное искажение, если его якобиан локально интегрируем и не меняет знака, и существует измеримая функция K_О (внешнее искажение) такое, что

${ Displaystyle | Df (x) | ^ {n} leq K_ {O} (x) | J (x, f) |}$

почти всюду.

Смотрите также

• Деформация (механика)

Рекомендации

• Иванец, Тадеуш; Мартин, Гавен (2001), Геометрическая теория функций и нелинейный анализ, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850929-5, МИСТЕР  1859913.
• Решетняк, Ю. ГРАММ. (1989), Отображения пространства с ограниченным искажением, Переводы математических монографий, 73, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4526-4, МИСТЕР  0994644.