Датический номер - Domatic number

Доматический раздел

В теория графов, а внутренний раздел из график ${ Displaystyle G = (V, E)}$ это раздел из ${ displaystyle V}$ на непересекающиеся множества ${ displaystyle V_ {1}}$ , ${ displaystyle V_ {2}}$ ,..., ${ displaystyle V_ {K}}$ так что каждый V_я это доминирующий набор за грамм. На рисунке справа показано внутреннее разбиение графа; здесь доминирующий набор ${ displaystyle V_ {1}}$ состоит из желтых вершин, ${ displaystyle V_ {2}}$ состоит из зеленых вершин, а ${ displaystyle V_ {3}}$ состоит из синих вершин.

В собственный номер - максимальный размер домического разбиения, то есть максимальное количество непересекающихся доминирующих множеств. График на рисунке имеет доматический номер 3. Легко видеть, что доматический номер по меньшей мере 3, потому что мы представили домическое разбиение размера 3. Чтобы увидеть, что доматическое число в большинстве В разделе 3 сначала рассматривается простая оценка сверху.

Верхняя граница

Позволять ${ displaystyle delta}$ быть минимальным степень графика ${ displaystyle G}$ . Доматическое число ${ displaystyle G}$ самое большее ${ displaystyle delta +1}$ . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вершину ${ displaystyle v}$ степени ${ displaystyle delta}$ . Позволять ${ displaystyle N}$ состоит из ${ displaystyle v}$ и его соседи. Мы знаем, что (1) каждое доминирующее множество ${ displaystyle V_ {i}}$ должен содержать хотя бы одну вершину в ${ displaystyle N}$ (доминирование) и (2) каждая вершина в ${ displaystyle N}$ содержится не более чем в одном доминирующем множестве ${ displaystyle V_ {i}}$ (дизъюнктность). Следовательно, есть не более ${ displaystyle | N | = delta +1}$ непересекающиеся доминирующие множества.

График на рисунке имеет минимальную степень ${ displaystyle delta = 2}$ , и поэтому его доматическое число не превосходит 3. Таким образом, мы показали, что его домическое число равно 3; на рисунке показан внутренний раздел максимального размера.

Нижние границы

Слабая 2-раскраска

Если в графе нет изолированной вершины (т. Е. ${ displaystyle delta}$ ≥ 1), то доматическое число не меньше 2. Чтобы в этом убедиться, заметим, что (1) a слабая 2-раскраска является доматическим разбиением, если нет изолированной вершины, и (2) любой граф имеет слабую 2-раскраску. В качестве альтернативы (1) a максимальное независимое множество является доминирующим множеством, и (2) дополнение к максимальному независимому множеству также является доминирующим множеством, если нет изолированных вершин.

На рисунке справа показана слабая 2-раскраска, которая также является домическим разбиением размера 2: темные узлы являются доминирующим набором, а светлые узлы - другим доминирующим набором (светлые узлы образуют максимальный независимый набор). Видеть слабая окраска для дополнительной информации.

Вычислительная сложность

Найти доматический раздел размера 1 тривиально: пусть ${ displaystyle V_ {1} = V}$ . Найти доматическое разделение размера 2 (или определить, что его не существует) легко: проверьте, есть ли изолированные узлы, а если нет, найдите слабую 2-раскраску.

Однако найти доматический раздел максимального размера сложно с вычислительной точки зрения. В частности, следующие проблема решения, известный как проблема с внутренним номером, является НП-полный: учитывая график ${ displaystyle G}$ и целое число ${ displaystyle K}$ , определите, является ли домическое число ${ displaystyle G}$ по крайней мере ${ displaystyle K}$ . Следовательно, проблема определения домического числа данного графа является NP-жесткий, и проблема поиска домического раздела максимального размера также является NP-сложной.

Есть полиномиальное время алгоритм аппроксимации с гарантией логарифмической аппроксимации,^[1] то есть можно найти домический раздел, размер которого находится в пределах множителя ${ Displaystyle О ( журнал | V |)}$ оптимума.

Однако при правдоподобных предположениях теории сложности не существует алгоритма полиномиальной аппроксимации с сублогарифмическим коэффициентом аппроксимации.^[1] Более конкретно, алгоритм полиномиальной аппроксимации для внутреннего разбиения с коэффициентом аппроксимации ${ Displaystyle (1- эпсилон) ln | V |}$ для постоянного ${ displaystyle epsilon> 0}$ означало бы, что все проблемы в НП можно решить за немного сверхполиномиальное время ${ Displaystyle п ^ {О ( журнал журнал п)}}$ .

Сравнение с аналогичными концепциями

Домашняя перегородка: Разбиение вершин на непересекающиеся доминирующие множества. В собственный номер - максимальное количество таких наборов.
Раскраска вершин: Разбиение вершин на непересекающиеся независимые множества. В хроматическое число - минимальное количество таких наборов.
Раздел клики: Разбиение вершин на непересекающиеся клики. Равно раскраске вершин в дополнительный граф.
Краска окраски: Разбиение ребер на непересекающиеся совпадения. В краевое хроматическое число - минимальное количество таких наборов.

Позволять грамм = (U ∪ V, E) быть двудольный граф без изолированных узлов; все ребра имеют вид {ты, v} ∈ E с ты ∈ U и v ∈ V. Потом {U, V} является как вершинной 2-раскраской, так и домическим разбиением размера 2; наборы U и V являются независимыми доминирующими множествами. Хроматическое число грамм ровно 2; 1-раскраски вершин нет. Доматическое число грамм составляет не менее 2. Возможно, существует более крупный домашний раздел; например, полный двудольный граф K_п,п для любого п ≥ 2 имеет собственный номер п.

Примечания

^ ^а ^б Файги, Уриэль; Halldórsson, Magnús M .; Корсарз, Гай; Шринивасан, Аравинд (март 2002 г.), «Приближение доматического числа», SIAM Журнал по вычислениям, 32 (1): 172–195, Дои:10.1137 / S0097539700380754, МИСТЕР 1954859