Число Дотти - Dottie number

Число Дотти - это уникальный реальный фиксированная точка из косинус функция

В математика, то Число Дотти это постоянный это уникальный настоящий корень уравнения

${ Displaystyle соз х = х.}$

где аргумент ${ displaystyle cos}$ в радианы. Десятичное разложение числа Дотти: ${ displaystyle 0.739085 ...}$.^[1]

Можно тривиально доказать, что уравнение имеет только одно решение с помощью теорема о промежуточном значении в реальном самолете. Это сингл ценный фиксированная точка из косинус функция, и является нетривиальный пример универсальной притягивающей фиксированной точки. Кроме того, это трансцендентное число как следствие Теорема Линдеманна-Вейерштрасса.^[2] Обобщенный случай ${ Displaystyle соз г = г}$ для комплексной переменной ${ displaystyle z}$ имеет бесконечно много корней, однако, в отличие от числа Дотти, они не притягивают неподвижные точки.

Используя ряд Тейлора обратного ${ Displaystyle е (х) = соз (х) -х}$ в ${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$ (или, что то же самое, Теорема обращения Лагранжа ), число Дотти можно выразить как бесконечная серия ${ displaystyle { frac { pi} {2}} + sum _ {n , mathrm {odd}} a_ {n} pi ^ {n}}$ где каждый ${ displaystyle a_ {n}}$ это Рациональное число определяется для нечетных n как

${ displaystyle { begin {align} a_ {n} & = { frac {1} {n! 2 ^ {n}}} lim _ {m to { frac { pi} {2}}} { frac { partial ^ {n-1}} { partial m ^ {n-1}}} { left ({ frac { cos m} {m- pi / 2}} - 1 right ) ^ {- n}} & = - { frac {1} {4}}, - { frac {1} {768}}, - { frac {1} {61440}}, - { гидроразрыв {43} {165150720}}, ldots end {выравнивается}}}$

^{[3][4][5][nb 1]}

Имя константы происходит от Сэмюэл Каплан (2007) и относится к французскому профессору, который наблюдал число после многократного нажатия кнопки косинуса на своем калькуляторе.^[3]

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Миллер, Т. Х. (февраль 1890 г.). «О численных значениях корней уравнения cosx = x». Труды Эдинбургского математического общества. 9: 80–83. Дои:10.1017 / S0013091500030868.
• Салов, Валерий (2012). «Неизбежное число Дотти. Итералы косинуса и синуса». arXiv:1212.1027.
• Азарян, Мохаммад К. (2008). «О ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ И ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКАХ ЕЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ» (PDF). Международный журнал чистой и прикладной математики.

Этот номер статья - это заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.