Проблема с экономическим планированием партии - Economic lot scheduling problem

В проблема планирования экономических партий (ELSP) проблема в управление операциями и теория инвентаризации это изучается многими исследователями более 50 лет. Термин впервые был использован в 1958 г. профессором Джек Д. Роджерс Беркли,^[1] кто продлил экономичный объем заказа модель на случай, когда несколько продуктов будут производиться на одном машина, поэтому необходимо решить как размер партии для каждого продукта, так и время производства каждой партии. Метод, проиллюстрированный Джеком Д. Роджерсом, основан на статье Уэлча У. Эверта 1956 года.^[2] ELSP - это математическая модель общей проблемы практически для любой компании или отрасли: планирование того, что производить, когда производить и сколько производить.

Формулировка модели

Классический ELSP связан с планированием производства нескольких продуктов на одной машине, чтобы минимизировать общие затраты (которые включают затраты на установку и затраты на хранение запасов).

Мы предполагаем известный неизменный спрос ${ displaystyle d_ {j}, j = 1, cdots, m}$ для m продуктов (например, может быть m = 3 продукта, и покупателям требуется 7 предметов в день Продукта 1, 5 предметов в день Продукта 2 и 2 предметов в день Продукта 3). Покупатель требовать пополняется из запасов и пополняется за счет нашего производства.

Доступна одна машина, которая может производить все продукты, но не взаимозаменяемо. Вместо этого машина должна быть настраивать для производства одного продукта, требующего затрат на установку и / или времени наладки, после чего он будет производить этот продукт с известной скоростью ${ displaystyle P_ {j}}$. Когда требуется произвести другой продукт, машину останавливают, и требуется еще одна дорогостоящая установка, чтобы начать производство следующего продукта. Позволять ${ displaystyle S_ {ij}}$ - стоимость настройки при переходе с продукта i на продукт j и стоимость запасов ${ displaystyle h_ {j}}$ взимается на основе среднего уровня запасов каждого предмета. N - количество выполненных прогонов, U - норма использования, L - размер партии и T - период планирования.

Чтобы привести очень конкретный пример, машина могла бы быть разливочная машина и продукты могут быть в бутылках яблочный сок, апельсиновый сок и молоко. Настройка соответствует процессу остановки машины, ее очистки и заполнения бака машины желаемой жидкостью. Это переключение продуктов не должно производиться слишком часто, иначе затраты на установку будут большими, но столь же длительный цикл производства яблочного сока был бы нежелателен, потому что это привело бы к большим капиталовложениям и расходам на транспортировку непроданных ящиков яблочного сока и, возможно, дефицит апельсинового сока и молока. ELSP ищет оптимальный компромисс между этими двумя крайностями.

Алгоритм Роджерса

1. Определите:

${ Displaystyle тета = Т / N = L / U}$ = период использования

c_L=${ displaystyle { frac {hL (P-U)} {2PU}} + { frac {S} {L}}}$, удельная стоимость партии размера L

${ Displaystyle C_ {N} = NLc_ {L} = UT left [{ frac {hL left (P-U right)} {2PU}} + { frac {S} {L}} right]}$ общая стоимость за N лотов. Чтобы получить оптимальный навязываем:

${ displaystyle { frac {d (C_ {N})} {dL}} = { frac {hT left (PU right)} {2P}} - { frac {SUT} {L ^ {2} }} = 0}$

Что дает ${ displaystyle L_ {0} = { sqrt { frac {2USP} {h (P-U)}}}}$ как оптимальный размер лота. Теперь позвольте:

${ Displaystyle C_ {N_ {L pm a}} = UT left [{ frac {h left (L pm a right) left (PU right)} {2PU}} + { frac { S} {L pm a}} right]}$ - общая стоимость N_{L ± a}партии размером L ± a

${ displaystyle + Delta = C_ {N_ {L + a}} - C_ {N} = UT left [{ frac {ha left (PU right)} {2PU}} - { frac {S} {{ frac {L ^ {2}} {a}} + L}} right]}$ быть дополнительными затратами на изменение размера L на L + a

${ displaystyle - Delta = C_ {N_ {La}} - C_ {N} = UT left [- { frac {ha left (PU right)} {2PU}} + { frac {S} { { frac {L ^ {2}} {a}} - L}} right]}$ быть дополнительными затратами на изменение размера L на L-a

2.

Общее количество требуемого предмета = UT

Общее время производства предмета = UT / P

Проверь это производительность доволен:

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {m} { frac {U_ {i} T} {P_ {i}}} leq T}$

${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {m} { frac {U_ {i}} {P_ {i}}} leq 1}$

3. вычислить:

${ displaystyle theta _ {0} = { frac {L_ {0}} {U}}}$ в целом число

Если для определенного элемента θ₀ не является четным числом, рассчитайте:

${ Displaystyle L = U влево ( theta _ {0} +1 вправо)}$

${ Displaystyle L = U влево ( theta _ {0} -1 вправо)}$

И измените L₀ до L в направлении, которое вызывает наименьшее увеличение затрат между + Δ и -Δ

4. вычислить t_п= L / P для каждого элемента и элементов списка в порядке увеличения θ = L / U

5. Для каждой пары элементов проверьте:

${ displaystyle theta _ {i} -t_ {p_ {i}} geq t_ {p_ {j}}}$

${ displaystyle theta _ {j} -t_ {p_ {j}} geq t_ {p_ {i}}}$

Чтобы сформировать пары, возьмите i^th с i + 1-м, i + 2-м и т. д. Если какое-либо из этих неравенств нарушается, вычислите + Δ и -Δ для увеличения размера лота на 2U и в порядке изменения стоимости произведите пошаговые изменения размера лота. Повторяйте этот шаг, пока оба неравенства не будут выполнены.

6.${ displaystyle e_ {ij} = d-t_ {p_ {i}} leq theta _ {i} -t_ {p_ {i}} - t_ {p_ {j}}}$

1. Сформируйте все возможные пары, как в шаге 5
2. Для каждой пары выберите θ_я <θ_j
3. Определите, есть ли t_пя > т_пj, т_пя <т_пj или т_пя = т_пj
4. Выберите значение для e_ij(е_ij= 0,1,2,3, ..., θ_я - т_пя - т_пj) и вычислим t_{число Пи}+ е и т_пиджей+ е
5. Рассчитать M_яθ_я-M_jθ_j установив M_я= k и M_j= 1,2,3, ..., T / θ_j; ∀k∈ (1,2, ..., T / θ_я). Затем проверьте, выполняется ли одно из следующих граничных условий:

за ${ displaystyle t_ {p_ {i}}> t_ {p_ {j}}}$ или же ${ displaystyle t_ {p_ {i}}$${ displaystyle { begin {case} t_ {p_ {i}} + e geq M_ {i} theta _ {i} -M_ {j} theta _ {j}> e t_ {p_ {i }} + e> M_ {i} theta _ {i} -M_ {j} theta _ {j} geq t_ {p_ {i}} + e t_ {p_ {j}} + e geq M_ {i} theta _ {i} -M_ {j} theta _ {j}> t_ {p_ {i}} + e t_ {p_ {i}} + t_ {p_ {j}} + e > M_ {i} theta _ {i} -M_ {j} theta _ {j} geq t_ {p_ {j}} + e end {case}}}$

за ${ displaystyle t_ {p_ {i}} = t_ {p_ {j}}}$ ${ displaystyle { begin {cases} t_ {p_ {i}} + e> M_ {i} theta _ {i} -M_ {j} theta _ {j}> e t_ {p_ {i} } + t_ {p_ {j}} + e> M_ {i} theta _ {i} -M_ {j} theta _ {j}> t_ {p_ {j}} + e t_ {p_ {i }} + e = M_ {i} theta _ {i} -M_ {j} theta _ {j} = t_ {p_ {j}} + e end {case}}}$

Если ни одно из граничных условий не выполняется, то e_ij не мешает: если i = 1 в e_ijвыберите следующий больший e на подэтапе 4, если i ≠ 1, вернитесь к подэтапу 2. Если какое-то граничное условие выполнено, перейдите к подэтапу 4. Если для любой пары не появляется не мешающее e, вернитесь к шагу 5.

7. внесите элементы в график и проверьте их выполнимость

Стохастический ELSP

На практике большое значение имеет проектирование, планирование и эксплуатация общих мощностей для нескольких продуктов с учетом времени переналадки и затрат в условиях неопределенного спроса. Помимо выбора (ожидаемого) времени цикла с определенным запасом хода («время безопасности»), необходимо также учитывать количество страхового запаса (буферного запаса), который необходим для достижения желаемого уровня обслуживания.^[3]

Статус проблемы

Эта проблема хорошо известна в сообществе исследователей операций, и было проведено большое количество академических исследований для улучшения модели и создания новых вариантов, решающих конкретные проблемы.

Модель известна как NP-жесткий проблема, поскольку в настоящее время невозможно найти оптимальное решение, не проверяя почти все возможности. Было сделано два подхода: ограничение решения определенным типом (что позволяет найти оптимальное решение для более узкой задачи) или приближенное решение полной проблемы с использованием эвристика или же генетические алгоритмы.^[4]

Смотрите также

• Бесконечная скорость заполнения производимой детали: Количество экономичного заказа
• Постоянная скорость заполнения выпускаемой детали: Экономичное количество продукции
• Спрос случайный: классический Модель продавца новостей
• Спрос меняется со временем: Модель динамического размера лота

Рекомендации

дальнейшее чтение

• S E Elmaghraby: Экономическая проблема планирования партии (ELSP): обзор и расширения, Management Science, Vol. 24, No. 6, февраль 1978 г., стр. 587–598.
• М. А. Лопес, Б. Г. Кингсман: Экономическая проблема планирования партии: теория и практика, Международный журнал экономики производства, Vol. 23 октября 1991 г., с. 147–164.
• Майкл Пинедо, Планирование и составление графиков в производстве и услугах, Springer, 2005 г. ISBN  0-387-22198-0

внешняя ссылка

• Гальего: ELSP, Колумбийский университет, 2004 г.