Серия Эйзенштейна - Eisenstein series

Серия Эйзенштейна, названный в честь немецкого математика Готтхольд Эйзенштейн, являются особенными модульные формы с участием бесконечная серия расширения, которые можно записывать напрямую. Первоначально определено для модульная группа, Ряды Эйзенштейна можно обобщить в теории автоморфные формы.

Ряд Эйзенштейна для модульной группы

Настоящая часть

г 6

как функция

q

на единичный диск. Отрицательные числа черные.

Мнимая часть

г 6

как функция

q

на единичном диске.

Позволять $τ$ быть комплексное число со строго положительным мнимая часть. Определить голоморфный ряд Эйзенштейна $г 2 k (τ)$ веса $2 k$ , где $k \geq 2$ является целым числом следующей серией:

{ displaystyle G_ {2k} ( tau) = sum _ {(m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} {(m + n tau) ^ {2k}}}.}

Эта серия абсолютно сходится к голоморфной функции от $τ$ в верхняя полуплоскость и его разложение Фурье, приведенное ниже, показывает, что оно продолжается до голоморфной функции в точке $τ = я \infty$ . Примечательно, что ряд Эйзенштейна модульная форма. Действительно, ключевым свойством является его $SL (2, ℤ)$ -инвариантность. Явно, если $а, б, c, d \in ℤ$ и $объявление - до н.э = 1$ тогда

{ Displaystyle G_ {2k} left ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) = (c tau + d) ^ {2k} G_ {2k} ( tau )}

(Доказательство)

{ Displaystyle { begin {align} G_ {2k} left ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) & = sum _ {(m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} { left (m + n { frac {a tau + b} {c tau + d}} right ) ^ {2k}}} & = sum _ {(m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {(c tau + d) ^ {2k}} {(md + nb + (mc + na) tau) ^ {2k}}} & = sum _ { left (m ', n' right) = (m, n) { begin {pmatrix} d c b a end {pmatrix}} atop (m, n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {(c tau + d) ^ {2k}} { left (m '+ n' tau right) ^ {2k}}} end {выровнено}}}

Если $объявление - до н.э = 1$ тогда

{ displaystyle { begin {pmatrix} d & c b & a end {pmatrix}} ^ {- 1} = { begin {pmatrix} a & -c - b & d end {pmatrix}}}

так что

{ Displaystyle (м, п) mapsto (м, п) { begin {pmatrix} d & c b & a end {pmatrix}}}

это биекция $ℤ 2 \to ℤ 2$ , то есть:

{ displaystyle sum _ { left (m ', n' right) = (m, n) { begin {pmatrix} d c b a end {pmatrix}} наверху (m , n) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} { left (m '+ n' tau right) ^ {2k}}} = сумма _ { left (m ', n' right) in mathbb {Z} ^ {2} setminus (0,0)} { frac {1} {(m '+ n' tau) ^ {2k}}} = G_ {2k} ( tau)}

В целом, если $объявление - до н.э = 1$ тогда

{ Displaystyle G_ {2k} left ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) = (c tau + d) ^ {2k} G_ {2k} ( tau )}

и $г 2 k$ является модульной формой веса $2 k$ . Обратите внимание, что важно предположить, что $k \geq 2$ , иначе изменение порядка суммирования было бы неправомерным, и $SL (2, ℤ)$ -инвариантность не состоится. На самом деле нетривиальных модулярных форм веса 2. Тем не менее, аналог голоморфного ряда Эйзенштейна можно определить даже для $k = 1$ , хотя это будет только квазимодулярная форма.

Связь с модульными инвариантами

В модульные инварианты $г 2$ и $г 3$ из эллиптическая кривая даются первыми двумя рядами Эйзенштейна:

{ displaystyle { begin {align} g_ {2} & = 60G_ {4} g_ {3} & = 140G_ {6}. end {align}}}

В статье о модульных инвариантах приводятся выражения для этих двух функций в терминах тета-функции.

Отношение рецидива

Любая голоморфная модулярная форма для модулярной группы может быть записана как многочлен от $г 4$ и $г 6$ . В частности, высший порядок $г 2 k$ можно записать в терминах $г 4$ и $г 6$ через отношение повторения. Позволять $d k = (2 k + 3) k! г 2 k + 4$ , так, например, $d 0 = 3 г 4$ и $d 1 = 5 г 6$ . Тогда $d k$ удовлетворять отношению

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {n choose k} d_ {k} d_ {nk} = { frac {2n + 9} {3n + 6}} d_ {n + 2} }

для всех $п \geq 0$ . Вот, $(п k)$ это биномиальный коэффициент.

В $d k$ входят в разложение в ряд для Эллиптические функции Вейерштрасса:

{ displaystyle { begin {align} wp (z) & = { frac {1} {z ^ {2}}} + z ^ {2} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {d_ {k} z ^ {2k}} {k!}} & = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} (2k + 1) G_ {2k + 2} z ^ {2k}. End {align}}}

Ряд Фурье

г 4

г 6

г 8

г 10

г 12

г 14

Определить $q = е 2π я$ . (Некоторые старые книги определяют $q$ быть ном $q = е π я$ , но $q = е 2 π я$ теперь является стандартом в теории чисел.) Ряд Фурье серии Эйзенштейна

{ displaystyle G_ {2k} ( tau) = 2 zeta (2k) left (1 + c_ {2k} sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {2k-1} (п ) q ^ {n} right)}

где коэффициенты $c 2 k$ даны

{ displaystyle { begin {align} c_ {2k} & = { frac {(2 pi i) ^ {2k}} {(2k-1)! zeta (2k)}} [4pt] & = { frac {-4k} {B_ {2k}}} = { frac {2} { zeta (1-2k)}}. end {align}}}

Вот, $B п$ являются Числа Бернулли, $ζ (z)$ является Дзета-функция Римана и $σ п (п)$ это функция суммы делителей, сумма $п$ -ые степени делителей $п$ . В частности, есть

{ displaystyle { begin {align} G_ {4} ( tau) & = { frac { pi ^ {4}} {45}} left (1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {3} (n) q ^ {n} right) [4pt] G_ {6} ( tau) & = { frac {2 pi ^ {6}} {945} } left (1-504 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {5} (n) q ^ {n} right). end {align}}}

Суммирование по $q$ можно резюмировать как Серия Ламберта; то есть у одного есть

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} q ^ {n} sigma _ {a} (n) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {а} д ^ {п}} {1-д ^ {п}}}}

для произвольных сложный $| q | < 1$ и $а$ . При работе с $q$ -расширение ряда Эйзенштейна, это альтернативное обозначение часто вводится:

{ Displaystyle { begin {align} E_ {2k} ( tau) & = { frac {G_ {2k} ( tau)} {2 zeta (2k)}} & = 1 + { frac {2} { zeta (1-2k)}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {2k-1} q ^ {n}} {1-q ^ {n }}} & = 1 - { frac {4k} {B_ {2k}}} sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {2k-1} (n) q ^ {n } & = 1 - { frac {4k} {B_ {2k}}} sum _ {d, n geq 1} n ^ {2k-1} q ^ {nd}. End {выравнивается}} }

Идентичности с участием серии Эйзенштейна

Как тета-функции

Данный $q = е 2 π я$ , позволять

{ displaystyle { begin {align} E_ {4} ( tau) & = 1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {3} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} E_ {6} ( tau) & = 1-504 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {5} q ^ { n}} {1-q ^ {n}}} E_ {8} ( tau) & = 1 + 480 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {7} д ^ {п}} {1-д ^ {п}}} конец {выровнено}}}

и определить

{ displaystyle { begin {align} a & = theta _ {2} left (0; e ^ { pi i tau} right) = vartheta _ {10} (0; tau) b & = theta _ {3} left (0; e ^ { pi i tau} right) = vartheta _ {00} (0; tau) c & = theta _ {4} left ( 0; e ^ { pi i tau} right) = vartheta _ {01} (0; tau) end {align}}}

где $θ м$ и $ϑ ij$ альтернативные обозначения для Тета-функции Якоби. Потом,

{ displaystyle { begin {align} E_ {4} ( tau) & = { tfrac {1} {2}} left (a ^ {8} + b ^ {8} + c ^ {8} справа), [4pt] E_ {6} ( tau) & = { tfrac {1} {2}} left (-3a ^ {8} left (b ^ {4} + c ^ {4 } right) + b ^ {12} + c ^ {12} right) [4pt] & = { tfrac {1} {2}} { sqrt { frac { left (a ^ {8 } + b ^ {8} + c ^ {8} right) ^ {3} -54 (abc) ^ {8}} {2}}}, end {align}}}

таким образом,

{ displaystyle E_ {4} ^ {3} -E_ {6} ^ {2} = { tfrac {27} {4}} (abc) ^ {8}}

выражение, относящееся к модульный дискриминант,

{ displaystyle Delta = g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2} = (2 pi) ^ {12} left ({ tfrac {1} {2}} abc right) ^ {8}}

Кроме того, поскольку $E 8 = E 24$ и $а 4 - б 4 + c 4 = 0$ , Из этого следует

{ displaystyle E_ {8} ( tau) = { tfrac {1} {2}} left (a ^ {16} + b ^ {16} + c ^ {16} right).}

Продукция серии Eisenstein

Ряды Эйзенштейна представляют собой наиболее явные примеры модульные формы для полной модульной группы $SL (2, ℤ)$ . Поскольку пространство модульных форм веса $2 k$ имеет размерность 1 для $2 k = 4, 6, 8, 10, 14$ , разные произведения ряда Эйзенштейна, имеющие эти веса, должны быть равны до скалярного кратного. Фактически получаем тождества:

{ Displaystyle E_ {4} ^ {2} = E_ {8}, quad E_ {4} E_ {6} = E_ {10}, quad E_ {4} E_ {10} = E_ {14}, quad E_ {6} E_ {8} = E_ {14}.}

С использованием $q$ -расширения ряда Эйзенштейна, данного выше, их можно переформулировать как тождества, включающие суммы степеней делителей:

{ displaystyle left (1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {3} (n) q ^ {n} right) ^ {2} = 1 + 480 sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {7} (n) q ^ {n},}

следовательно

{ displaystyle sigma _ {7} (n) = sigma _ {3} (n) +120 sum _ {m = 1} ^ {n-1} sigma _ {3} (m) sigma _ {3} (нм),}

и то же самое для остальных. В тета-функция восьмимерной четной унимодулярной решетки $Γ$ является модульной формой веса 4 для полной модулярной группы, которая дает следующие тождества:

{ displaystyle theta _ { Gamma} ( tau) = 1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} r _ { Gamma} (2n) q ^ {n} = E_ {4} ( тау), qquad r _ { Gamma} (n) = 240 sigma _ {3} (n)}

для номера $р Γ (п)$ векторов квадрата длины $2 п$ в корневая решетка типа $E 8$ .

Аналогичные техники с использованием голоморфных рядов Эйзенштейна, скрученных Dirichlet персонаж производят формулы для количества представлений положительного целого числа $п$ 'в виде суммы двух, четырех или восьми квадратов через делители $п$ .

Используя указанное выше рекуррентное соотношение, все выше $E 2 k$ можно выразить как полиномы от $E 4$ и $E 6$ . Например:

{ displaystyle { begin {align} E_ {8} & = E_ {4} ^ {2} E_ {10} & = E_ {4} cdot E_ {6} 691 cdot E_ {12} & = 441 cdot E_ {4} ^ {3} +250 cdot E_ {6} ^ {2} E_ {14} & = E_ {4} ^ {2} cdot E_ {6} 3617 cdot E_ {16} & = 1617 cdot E_ {4} ^ {4} +2000 cdot E_ {4} cdot E_ {6} ^ {2} 43867 cdot E_ {18} & = 38367 cdot E_ {4} ^ {3} cdot E_ {6} +5500 cdot E_ {6} ^ {3} 174611 cdot E_ {20} & = 53361 cdot E_ {4} ^ {5} + 121250 cdot E_ {4} ^ {2} cdot E_ {6} ^ {2} 77683 cdot E_ {22} & = 57183 cdot E_ {4} ^ {4} cdot E_ {6} + 20500 cdot E_ {4} cdot E_ {6} ^ {3} 236364091 cdot E_ {24} & = 49679091 cdot E_ {4} ^ {6} +176400000 cdot E_ {4} ^ {3 } cdot E_ {6} ^ {2} +10285000 cdot E_ {6} ^ {4} end {выравнивается}}}

Многие отношения между продуктами серии Эйзенштейна можно элегантно описать с помощью Детерминанты Ганкеля, например Личность Гарвана

{ displaystyle Delta ^ {2} = - { frac {691} {1728 ^ {2} cdot 250}} det { begin {vmatrix} E_ {4} & E_ {6} & E_ {8} E_ {6} и E_ {8} и E_ {10} E_ {8} и E_ {10} и E_ {12} end {vmatrix}}}

где

{ displaystyle Delta = { frac {E_ {4} ^ {3} -E_ {6} ^ {2}} {1728}}}

это модульный дискриминант.^[1]

Рамануджан идентичности

Шриниваса Рамануджан дал несколько интересных тождеств между несколькими первыми сериями Эйзенштейна, включающими дифференциацию. Позволять

{ displaystyle { begin {align} L (q) & = 1-24 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {nq ^ {n}} {1-q ^ {n}} } && = E_ {2} ( tau) M (q) & = 1 + 240 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {3} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} && = E_ {4} ( tau) N (q) & = 1-504 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {5} q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} && = E_ {6} ( tau), end {выровнено}}}

тогда

{ displaystyle { begin {align} q { frac {dL} {dq}} & = { frac {L ^ {2} -M} {12}} q { frac {dM} {dq} } & = { frac {LM-N} {3}} q { frac {dN} {dq}} & = { frac {LN-M ^ {2}} {2}}. end { выровнен}}}

Эти тождества, как и тождества между сериями, дают арифметические свертка личности с участием функция суммы делителей. Следуя Рамануджану, чтобы представить эти тождества в простейшей форме, необходимо расширить область $σ п (п)$ включить ноль, установив

{ displaystyle { begin {align} sigma _ {p} (0) = { tfrac {1} {2}} zeta (-p) quad Longrightarrow quad sigma (0) & = - { tfrac {1} {24}} sigma _ {3} (0) & = { tfrac {1} {240}} sigma _ {5} (0) & = - { tfrac { 1} {504}}. End {align}}}

Тогда, например,

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} sigma (k) sigma (nk) = { tfrac {5} {12}} sigma _ {3} (n) - { tfrac { 1} {2}} n sigma (n).}

Другие идентичности этого типа, но не имеющие прямого отношения к предыдущим отношениям между $L$ , $M$ и $N$ функции, были доказаны Рамануджаном и Джузеппе Мельфи,^[2]^[3] как например

{ displaystyle { begin {align} sum _ {k = 0} ^ {n} sigma _ {3} (k) sigma _ {3} (nk) & = { tfrac {1} {120} } sigma _ {7} (n) sum _ {k = 0} ^ {n} sigma (2k + 1) sigma _ {3} (nk) & = { tfrac {1} {240 }} sigma _ {5} (2n + 1) sum _ {k = 0} ^ {n} sigma (3k + 1) sigma (3n-3k + 1) & = { tfrac {1 } {9}} sigma _ {3} (3n + 2). End {align}}}

Обобщения

Автоморфные формы обобщить идею модульных форм на общие Группы Ли; и ряды Эйзенштейна обобщают аналогичным образом.

Определение $О K$ быть кольцо целых чисел из поле полностью вещественных алгебраических чисел $K$ , затем определяется Модульная группа Гильберта – Блюменталя так как $PSL (2, О K)$ . Тогда можно связать ряд Эйзенштейна с каждым куспид модулярной группы Гильберта – Блюменталя.

использованная литература

^ Милн, Стивен С. (2000). «Детерминанты Ганкеля ряда Эйзенштейна». arXiv:математика / 0009130v3.
^ Рамануджан, Шриниваса (1962). «О некоторых арифметических функциях». Сборник статей. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. С. 136–162.
^ Мельфи, Джузеппе (1998). «О некоторых модульных идентичностях». Теория чисел, диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты: материалы международной конференции, состоявшейся в Эгере, Венгрия. Walter de Grutyer & Co., стр. 371–382.

дальнейшее чтение

Ахиезер, Наум Ильич (1970). «Элементы теории эллиптических функций». Москва. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите) Переведено на английский как Элементы теории эллиптических функций.. Переводы математических монографий AMS 79. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 1990 г. ISBN 0-8218-4532-2.
Апостол, Том М. (1990). Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97127-0.
Чан, Хенг Хуат; Онг, Яу Линь (1999). «О серии Эйзенштейна» (PDF). Proc. Амер. Математика. Soc. 127 (6): 1735–1744. Дои:10.1090 / S0002-9939-99-04832-7.
Иванец, Хенрик (2002). Спектральные методы автоморфных форм. Аспирантура по математике 53 (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. гл. 3. ISBN 0-8218-3160-7.
Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики. Тексты для выпускников по математике 7 (пер. ред.). Нью-Йорк и Гейдельберг: Springer-Verlag.

[1] Милн, Стивен С. (2000). «Детерминанты Ганкеля ряда Эйзенштейна». arXiv:математика / 0009130v3.

[2] Рамануджан, Шриниваса (1962). «О некоторых арифметических функциях». Сборник статей. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. С. 136–162.

[3] Мельфи, Джузеппе (1998). «О некоторых модульных идентичностях». Теория чисел, диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты: материалы международной конференции, состоявшейся в Эгере, Венгрия. Walter de Grutyer & Co., стр. 371–382.

[1]

[2]

[3]