Протокол Even – Paz - Even–Paz protocol

В Even – Paz алгоритм - это эффективный с вычислительной точки зрения алгоритм для ярмарка разрезания торта. Он включает в себя некий разнородный и делимый ресурс, такой как праздничный торт, и п партнеры с разными предпочтениями по разным частям торта. Это позволяет п люди для достижения пропорциональное деление.

История

Первый опубликованный алгоритм для пропорциональное деление торта был последний уменьшитель алгоритм, опубликованный в 1948 году. Его сложность выполнения составляла O (п^ 2). в 1984 г., Шимон Эвен и Азария Пас опубликовали свой улучшенный алгоритм, сложность выполнения которого составляет всего O (п бревно п).^[1]

Описание

Алгоритм использует стратегию разделяй и властвуй, можно добиться пропорционального деления за время O (п бревно п).

• Каждого партнера просят провести линию, разделяющую торт на правую и левую части, так, чтобы, по его мнению, соотношение было ⌊п/2⌋:⌈п/ 2⌉. Разрезы не должны пересекаться; простой способ гарантировать это - разрешить только горизонтальные линии или только вертикальные линии.
• Алгоритм сортирует п линий в порядке возрастания и разрезает торт посередине линий, т. е. нап/ 2⌋я строка. Например, если есть 5 партнеров, которые проводят линии на Икс=1, Икс=3, Икс=5, Икс= 8 и Икс= 9, то алгоритм разрезает торт вертикально на Икс=3.
• Алгоритм назначает каждой из двух частей партнеров, линия которых находится внутри этой части, то есть партнеров, которые нарисовали первуюп/ 2⌋ строки присваиваются левой части, остальные - правой части. Например, партнеры, проводившие линию в Икс= 1 и Икс= 3 назначены левой части, а остальные три партнера назначены правой части. Каждая часть рекурсивно делится между назначенными ей партнерами.

По индукции можно доказать, что каждому партнеру, играющему по правилам, гарантирована фигура стоимостью не менее 1 /.п, независимо от того, что делают другие партнеры.

Благодаря стратегии «разделяй и властвуй» количество итераций составляет всего O (log п), в отличие от O (п) в процедуре Last Diminisher. На каждой итерации каждый партнер должен сделать одну отметку. Следовательно, общее количество требуемых оценок составляет O (п бревно п).

Оптимальность

Через несколько лет после публикации алгоритма Even – Paz было доказано, что каждая детерминированная или рандомизированная процедура пропорционального деления, назначающая каждому человеку непрерывную фигуру, должна использовать Ω (п бревно п) действия.^[2]

Более того, каждая детерминированная процедура пропорционального деления должна использовать Ω (п бревно п) действия, даже если процедуре разрешено назначать каждому партнеру несмежную часть, и даже если процедура позволяет только гарантировать приблизительная справедливость.^[3]

Эти результаты жесткости подразумевают, что алгоритм Even – Paz является самым быстрым из возможных алгоритмов для достижения полной пропорциональности для смежных частей, и это самый быстрый из возможных детерминированных алгоритмов для достижения даже частичной пропорциональности и даже для отдельных частей. Единственный случай, когда он может быть улучшен, - это рандомизированные алгоритмы, гарантирующие частичную пропорциональность с отключенными частями; видеть Алгоритм Эдмондса – Пруха.

Случайная версия

Можно использовать рандомизацию, чтобы уменьшить количество оценок. Следующая рандомизированная версия рекурсивной процедуры деления пополам достигает пропорционального деления с использованием только O (п) отмечают запросы в среднем.^[1] Идея состоит в том, что на каждой итерации вместо запроса все партнеры, чтобы сделать отметку с половинной стоимостью, только немного партнеров просят сделать такие отметки, в то время как другие партнеры выбирают только ту половину, которую они предпочитают. Партнеров отправляют либо на запад, либо на восток в соответствии с их предпочтениями, пока количество партнеров с каждой стороны не станет равным. п/ 2. Затем делается надрез, и каждая группа п/ 2 партнера рекурсивно делит свою половину.^[4]

В худшем случае нам еще понадобится п-1 баллов за итерацию, поэтому в наихудшем случае требуется количество баллов O (п бревно п). Однако в среднем только O (log п) баллов требуется за итерацию; решая рекуррентную формулу, можно показать, что среднее количество требуемых оценок равно O (п).

Обратите внимание, что Всего количество запросов по-прежнему O (п бревно п), поскольку каждый партнер должен выбрать половину.

Рекомендации