Теорема Эвальда – Озеена о вымирании - Википедия - Ewald–Oseen extinction theorem

В оптика, то Теорема Эвальда – Озеена о вымирании, иногда называемая просто «теоремой поглощения», является теоремой, которая лежит в основе общего понимания рассеяния (а также преломления, отражения и дифракции). Он назван в честь Пол Питер Эвальд и Карл Вильгельм Озеен, которые доказали теорему в кристаллической и изотропной средах соответственно в 1916 и 1915 годах.^[1] Первоначально теорема применялась к рассеянию на изотропных диэлектрических объектах в свободном пространстве. Сфера применения теоремы была значительно расширена, чтобы охватить широкий спектр бианизотропных сред.^[2]

Обзор

Важная часть теории оптической физики начинается с микроскопической физики - поведения атомов и электронов - и используется для выводить знакомые макроскопические законы оптики. В частности, вывод о том, как показатель преломления работает и откуда берется, начиная с микроскопической физики. Теорема Эвальда – Озеена о вымирании является частью этого вывода (как и Уравнение Лоренца – Лоренца. так далее.).

Когда свет, путешествующий в вакууме, попадает в прозрачную среду, такую ​​как стекло, свет замедляется, как описано показатель преломления. Хотя этот факт известен и знаком, на самом деле он довольно странный и удивительный, если взглянуть на него под микроскопом. Ведь согласно принцип суперпозиции, свет в стекле представляет собой суперпозицию:

• Исходная световая волна, и
• Световые волны, излучаемые колеблющимися электронами в стекле.

(Свет - это колеблющееся электромагнитное поле, которое толкает электроны вперед и назад, излучая дипольное излучение.)

По отдельности каждая из этих волн движется в вакууме со скоростью света, нет с (более медленной) скоростью света в стекле. Но когда волны складываются, они неожиданно создают Только волна, которая движется с меньшей скоростью.

Теорема Эвальда-Озеена о экстинкции гласит, что излучаемый атомами свет имеет компонент, движущийся со скоростью света в вакууме, который в точности нейтрализует («гасит») исходную световую волну. Кроме того, свет, излучаемый атомами, имеет компонент, который выглядит как волна, движущаяся с меньшей скоростью света в стекле. В целом Только Волна в стекле - это медленная волна, соответствующая тому, что мы ожидаем от базовой оптики.

Более полное описание можно найти в «Классической оптике и ее приложениях» Масуда Мансурипура.^[3] Доказательство классической теоремы можно найти в Принципы оптики, пользователя Born and Wolf.^[1], а его расширение было представлено Ахлеш Лахтакия.^[2]

Вывод из уравнений Максвелла

Вступление

Когда электромагнитная волна входит в диэлектрическую среду, она возбуждает (резонирует) электроны материала, независимо от того, свободны они или связаны, переводя их в колебательное состояние с той же частотой, что и волна. Эти электроны, в свою очередь, излучают собственные электромагнитные поля в результате своих колебаний (электромагнитные поля колеблющихся зарядов). Из-за линейности уравнений Максвелла можно ожидать, что полное поле в любой точке пространства будет суммой исходного поля и поля, создаваемого колеблющимися электронами. Этот результат, однако, противоречит практической волне, которую можно наблюдать в диэлектрике, движущемся со скоростью c / n, где n - показатель преломления среды. Теорема Эвальда-Озеена пытается решить проблему разрыва связи, демонстрируя, как суперпозиция этих двух волн воспроизводит знакомый результат волны, движущейся со скоростью c / n.

Вывод

Давайте рассмотрим упрощенную ситуацию, когда монохроматическая электромагнитная волна обычно падает на среду, заполняющую половину пространства в области z> 0, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1: Полупространство z> 0 представляет собой диэлектрический материал с восприимчивостью χ. Полупространство z ​​<0 - вакуум.

Электрическое поле в точке пространства - это сумма электрических полей, создаваемых всеми различными источниками. В нашем случае мы разделяем поля на две категории в зависимости от их источников. Обозначим падающее поле

${ displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {vac}}}$

и сумма полей, создаваемых колеблющимися электронами в среде

${ Displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {rad}} (г, т)}$.

Общее поле в любой точке z в пространстве тогда определяется суперпозицией двух вкладов:

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = mathbf {E} _ { mathrm {vac}} (z, t) + mathbf {E} _ { mathrm {rad}} (z, t )}$.

Чтобы соответствовать тому, что мы уже наблюдаем, ${ displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {vac}}}$ имеет такую ​​форму. Однако мы уже знаем, что внутри среды, z> 0, мы будем наблюдать только то, что мы называем передаваемым E-полем. ${ displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {t}}}$который движется через материал со скоростью c / n.

Следовательно, в этом формализме

${ Displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {rad}} (z, t) = - mathbf {E} _ { mathrm {vac}} (z, t) + mathbf {E} _ {T } (z, t)}$

Это означает, что излучаемое поле нейтрализует падающее поле и создает передаваемое поле, перемещающееся в среде со скоростью c / n. Используя ту же логику, вне среды излучаемое поле создает эффект отраженного поля. ${ displaystyle mathbf {E} _ {R}}$ движется со скоростью c в направлении, противоположном падающему полю.

${ Displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {rad}} (z, t) = - mathbf {E} _ { mathrm {vac}} (z, t) - mathbf {E} _ {R } (z, t)}$

Предположим, что длина волны намного больше среднего расстояния между атомами, так что среду можно считать непрерывной. Мы используем обычные макроскопические поля E и B и считаем среду немагнитной и нейтральной, так что уравнения Максвелла имеют вид

${ displaystyle { begin {array} {l} { nabla cdot mathbf {E} = 0} { nabla cdot mathbf {B} = 0} { nabla times mathbf { E} = - partial mathbf {B} / partial t} { nabla times mathbf {B} = { boldsymbol { mu}} _ {0} mathbf {J} + epsilon _ {0} { boldsymbol { mu}} _ {0} partial mathbf {E} / partial t} end {array}}}$

как полное электрическое, так и магнитное поля

${ displaystyle mathbf {E} = mathbf {E} _ { mathrm {vac}} + mathbf {E} _ { mathrm {rad}}, quad mathbf {B} = mathbf {B} _ { mathrm {vac}} + mathbf {B} _ { mathrm {rad}}}$

система уравнений Максвелла внутри диэлектрика

${ displaystyle { begin {array} {l} { nabla cdot mathbf {E} _ { mathrm {rad}} = 0} { nabla cdot mathbf {B} _ { mathrm { rad}} = 0} { nabla times mathbf {E} _ { mathrm {rad}} = - partial mathbf {B} _ { mathrm {rad}} / partial t} { nabla times mathbf {B} _ { mathrm {rad}} = mu _ {0} mathbf {J} + epsilon _ {0} mu _ {0} partial mathbf {E} _ { mathrm {rad}} / partial t} end {array}}}$

куда ${ displaystyle mathbf {J}}$ включает истинный ток и ток поляризации, индуцированный в материале внешним электрическим полем. Мы предполагаем линейную зависимость между током и электрическим полем, поэтому

${ displaystyle mathbf {J} = { sigma} left ( mathbf {E} _ { mathrm {vac}} + mathbf {E} _ { mathrm {rad}} right)}$

Система уравнений Максвелла вне диэлектрика не имеет члена плотности тока

${ displaystyle { begin {array} {l} { nabla cdot mathbf {E} _ { mathrm {vac}} = 0} { nabla cdot mathbf {B} _ { mathrm { vac}} = 0} { nabla times mathbf {E} _ { mathrm {vac}} = - partial mathbf {B} _ { mathrm {vac}} / partial t} { nabla times mathbf {B} _ { mathrm {vac}} = epsilon _ {0} mu _ {0} partial mathbf {E} _ { mathrm {vac}} / partial t } end {массив}}}$

Две системы уравнений Максвелла связаны, поскольку электрическое поле вакуума появляется в члене плотности тока.

Для монохроматической волны при нормальном падении электрическое поле вакуума имеет вид

${ Displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {vac}} (z, t) = mathbf {E} _ { mathrm {vac}} exp [я (kz- omega t)]}$ ,

с ${ displaystyle k = omega / {c}}$.

Теперь решить для ${ displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {rad}}}$, мы берем ротор третьего уравнения из первого набора уравнений Максвелла и объединяем его с четвертым.

${ displaystyle { begin {array} {l} { nabla times nabla times mathbf {E} _ { mathrm {rad}} = - partial ( nabla times mathbf {B} _ { mathrm {rad}}) / partial t} { nabla times nabla times mathbf {E} _ { mathrm {rad}} = - partial ( mu _ {0} mathbf { J} + epsilon _ {0} mu _ {0} partial mathbf {E} _ { mathrm {rad}} / partial t) / partial t} end {array}}}$

Мы упрощаем двойной завиток за пару шагов, используя Суммирование Эйнштейна.

${ displaystyle { begin {align} ( nabla times nabla times mathbf {E}) _ {i} & = epsilon _ {ijk} epsilon _ {klm} partial _ {j} partial _ {l} E_ {m} & = ( delta _ {il} delta _ {j mathrm {m}} - delta _ {i mathrm {m}} delta _ {jl}) частичный _ {j} partial _ {l} E_ {m} & = partial _ {i} ( partial _ {j} E_ {j}) - partial _ {j} partial _ {j} E_ {i} end {align}}}$

Отсюда получаем

${ displaystyle nabla times nabla times mathbf {E} _ {rad} = nabla ( nabla cdot mathbf {E} _ {rad}) - nabla ^ {2} mathbf {E} _ {рад}}$

Затем подставив ${ displaystyle mathbf {J}}$ к ${ displaystyle { sigma} left ( mathbf {E} _ { mathrm {vac}} + mathbf {E} _ { mathrm {rad}} right)}$, используя тот факт, что ${ Displaystyle набла cdot mathbf {E} _ { mathrm {rad}} = 0}$ мы получаем,

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {E} _ {rad} = partial ( mu _ {0} { sigma} mathbf {E} _ { mathrm {vac}} + mu _ { 0} { sigma} mathbf {E} _ { mathrm {rad}} + epsilon _ {0} mu _ {0} partial mathbf {E} _ { mathrm {rad}} / partial t) / partial t}$

Понимая, что все поля имеют одинаковую временную зависимость ${ Displaystyle ехр [-i omega t]}$, производные по времени очевидны, и мы получаем следующее неоднородное волновое уравнение

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {E} _ { mathrm {rad}} + mu _ {0} omega ^ {2} left ( epsilon _ {0} + i sigma / omega right) mathbf {E} _ { mathrm {rad}} = - i mu _ {0} omega sigma mathbf {E} _ { mathrm {vac}} (z)}$

с особым решением

${ displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {rad}} ^ {P} = - mathbf {E} _ { mathrm {vac}} (z)}$

Для полного решения мы добавляем к частному решению общее решение однородного уравнения, которое представляет собой суперпозицию плоских волн, распространяющихся в произвольных направлениях [13]

${ displaystyle left ( mathbf {E} _ { mathrm {rad}} ^ {c} right) _ {i} = int g_ {i} ({ boldsymbol { theta}}, { boldsymbol { phi}}) exp left (i mathbf {k} ^ { prime} cdot mathbf {r} right) d Omega}$

Где ${ Displaystyle к ^ { прайм}}$находится из однородного уравнения как

${ displaystyle k ^ { prime 2} = mu _ {0} epsilon _ {0} omega ^ {2} left (1 + i { frac { sigma} { epsilon _ {0} omega}} right)}$

Обратите внимание, что мы взяли решение как когерентную суперпозицию плоских волн. Из-за симметрии мы ожидаем, что поля будут одинаковыми в плоскости, перпендикулярной плоскости ${ displaystyle z}$ ось. Следовательно ${ displaystyle mathbf {k} ^ { prime} cdot mathbf {a} = 0,}$ куда ${ Displaystyle mathbf {а}}$ это смещение, перпендикулярное ${ displaystyle z}$.

Поскольку в регионе нет границ ${ displaystyle z> 0}$, мы ожидаем, что волна движется вправо. Решение однородного уравнения принимает вид

${ displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {rad}} ^ {c} = mathbf {E} _ {T} exp left (ik ^ { prime} z right)}$

Добавляя это к частному решению, мы получаем излучаемую волну внутри среды ( ${ displaystyle z> 0}$ )

${ displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {rad}} = - mathbf {E} _ { mathrm {vac}} (z) + mathbf {E} _ {T} exp left (ik ^ { prime} z right)}$

Общее поле в любой позиции ${ displaystyle z}$ представляет собой сумму падающего и излучаемого полей в этой позиции. Складывая два компонента внутри среды, мы получаем общее поле

${ Displaystyle mathrm {E} (z) = mathrm {E} _ {T} exp left (ik ^ { prime} z right),}$ ${ displaystyle z> 0}$

Эта волна распространяется внутри диэлектрика со скоростью ${ displaystyle c / n,}$

${ displaystyle n = ck ^ { prime} / omega = { sqrt {1 + i { frac { sigma} { epsilon _ {0} omega}}}}}$

Мы можем упростить вышеизложенное ${ displaystyle n}$ к знакомой форме показателя преломления линейного изотропного диэлектрика. Для этого вспомним, что в линейном диэлектрике приложенное электрическое поле ${ displaystyle mathbf {E}}$ вызывает поляризацию ${ displaystyle mathbf {P}}$ пропорционально электрическому полю ${ displaystyle mathbf {P} = epsilon _ {0} chi _ {e} mathbf {E}}$. Когда электрическое поле изменяется, индуцированные заряды перемещаются и создают плотность тока, определяемую ${ Displaystyle partial mathbf {P} / partial t}$. Поскольку зависимость электрического поля от времени равна ${ Displaystyle ехр (-i omega t)}$, мы получили

${ displaystyle mathbf {J} = -i epsilon _ {0} omega chi _ {e} mathbf {E}}$

Это означает, что проводимость

${ displaystyle sigma = -i epsilon _ {0} omega chi _ {e}}$.

Затем подставляя проводимость в уравнение ${ displaystyle n}$, дает

${ displaystyle n = { sqrt {1+ chi _ {e}}}}$

что является более знакомой формой. Для региона ${ displaystyle z <0}$, накладывается условие бегущей влево волны. Установив проводимость в этой области ${ displaystyle sigma = 0}$, получаем отраженную волну

${ Displaystyle mathrm {E} (z) = mathrm {E} _ {R} exp left (-ikz right),}$

движется со скоростью света.

Обратите внимание, что номенклатура коэффициентов, ${ displaystyle mathbf {E} _ {T}}$ и ${ displaystyle mathbf {E} _ {R}}$, принимаются только в соответствии с нашими ожиданиями.

Векторный подход Герца

Ниже приводится вывод, основанный на работе Вангснесса. ^[4] и аналогичный вывод, найденный в главе 20 текста Зангвилла, Современная электродинамика.^[5] Постановка такова, пусть бесконечное полупространство ${ displaystyle z <0}$ быть вакуумом и бесконечным полупространством ${ displaystyle z> 0}$ быть однородным, изотропным, диэлектрическим материалом с электрическая восприимчивость, ${ displaystyle chi.}$

В уравнение неоднородной электромагнитной волны для электрического поля можно записать в терминах электрического Герцовый потенциал, ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}}}$, в калибровке Лоренца как

${ displaystyle nabla ^ {2} { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}} - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}}} { partial t ^ {2}}} = - { frac { mathbf {P}} { epsilon _ {0}}}}$.

Электрическое поле в терминах векторов Герца имеет вид

${ displaystyle mathbf {E} = nabla times nabla times { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}} - { frac { mathbf {P}} { epsilon _ {0 }}} - { frac { partial} { partial t}} left ( nabla times { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {m}} right)}$,

но магнитный вектор Герца ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {m}}}$ равно 0, поскольку предполагается, что материал не намагничивается и отсутствует внешнее магнитное поле. Следовательно, электрическое поле упрощается до

${ displaystyle mathbf {E} = nabla times nabla times { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}} - { frac { mathbf {P}} { epsilon _ {0 }}}}$.

Чтобы вычислить электрическое поле, мы должны сначала решить неоднородное волновое уравнение для ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}}}$. Для этого разделите ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}}}$ в однородных и частных растворах

${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}} ( mathbf {r}, t) = { boldsymbol { pi}} _ {e, h} ( mathbf {r}, t) + { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} ( mathbf {r}, t)}$.

Тогда линейность позволяет нам писать

${ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {r}, t) = mathbf {E} _ {h} ( mathbf {r}, t) + mathbf {E} _ { mathrm {p}} ( mathbf {r}, t)}$.

В однородный раствор, ${ displaystyle mathbf {E} _ {h} ( mathbf {r}, t)}$, - исходная плоская волна, бегущая с волновым вектором ${ displaystyle k_ {0} = omega / c}$ в положительном ${ displaystyle z}$ направление

${ displaystyle mathbf {E} _ {h} ( mathbf {r}, t) = mathbf {E} _ {0} e ^ {i left (k_ {0} z- omega t right) }.}$

Нам не нужно явно находить ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ {e, h} ( mathbf {r}, t)}$так как мы заинтересованы только в поиске поля.

Конкретное решение, ${ Displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {е, p}} ( mathbf {r}, t)}$ и поэтому, ${ Displaystyle mathbf {E} _ { mathrm {p}} ( mathbf {r}, t)}$, находится с использованием зависящего от времени Функция Грина метод неоднородного волнового уравнения для ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {е, p}}}$ который производит отсталый интеграл

${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} ( mathbf {r}, t) = { frac {1} {4 pi epsilon _ {0}}} int d ^ {3} r ^ { prime} { frac { mathbf {P} left ( mathbf {r} ^ { prime}, t- left | mathbf {r} - mathbf {r } ^ { prime} right | / c right)} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} right |}}}$.

Поскольку начальное электрическое поле поляризует материал, вектор поляризации должен иметь такую ​​же пространственную и временную зависимость ${ displaystyle mathbf {P} ( mathbf {r}, t) = mathbf {P} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)}.}$ Более подробно это предположение обсуждается Вангснессом. Подставляя это в интеграл и выражая через декартовы координаты, получаем

${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} ( mathbf {r}, t) = { frac { mathbf {P} _ {0} e ^ {i (kz - omega t)}} {4 pi epsilon _ {0}}} int _ {0} ^ { infty} dz ^ { prime} e ^ {ik left (z ^ { prime} - z right)} int _ {- infty} ^ { infty} dx ^ { prime} int _ {- infty} ^ { infty} dy ^ { prime} { frac {e ^ { ik_ {0} left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} right |}} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} right |}}.}$

Сначала рассмотрим только интегрирование по ${ displaystyle x ^ { prime}}$и ${ displaystyle y ^ { prime}}$и преобразовать это в цилиндрические координаты ${ Displaystyle (х, y, z) rightarrow ( rho, varphi, z)}$ и позвони ${ displaystyle { left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} right |} = R}$

${ displaystyle I: = int _ {- infty} ^ { infty} dx ^ { prime} int _ {- infty} ^ { infty} dy ^ { prime} { frac {e ^ {ik_ {0} left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} right |}} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} right |}} = int _ {0} ^ {2 pi} d varphi ^ { prime} int _ {0} ^ { infty} d rho ^ { prime} { frac {e ^ {ik_ {0} R}} {R}} = 2 pi int _ {0} ^ { infty} d rho ^ { prime} { frac {e ^ {ik_ {0} R}} { Р}}.}$

Затем с помощью замены

${ Displaystyle R ^ {2} = rho ^ {2} + left | z ^ { prime} -z right | ^ {2} Rightarrow rho ^ {2} = R ^ {2} - left | z ^ { prime} -z right | ^ {2} Rightarrow rho d rho = RdR}$

и

${ displaystyle rho = { sqrt {R ^ {2} - left | z ^ { prime} -z right | ^ {2}}}}$

так что пределы становятся

${ displaystyle rho = 0 = { sqrt {R ^ {2} - left | z ^ { prime} -z right | ^ {2}}} Rightarrow R = left | z ^ { prime } -z right |}$

и

${ displaystyle rho = infty = { sqrt {R ^ {2} - left | z ^ { prime} -z right | ^ {2}}} Rightarrow R = infty.}$

Затем введем коэффициент сходимости ${ displaystyle e ^ {- epsilon R}}$ с ${ displaystyle epsilon in mathbb {R}}$ в подынтегральное выражение, поскольку оно не меняет значения интеграла,

${ displaystyle { begin {align} I & = 2 pi int _ { left | z ^ { prime} -z right |} ^ { infty} dRe ^ {ik_ {0} R} & = 2 pi lim _ { epsilon to 0} int _ { left | z ^ { prime} -z right |} ^ { infty} dRe ^ {(ik_ {0} - epsilon) R} & = left.2 pi lim _ { epsilon to 0} left [{ frac {e ^ {(ik_ {0} - epsilon) R}} {ik_ {0} - epsilon}} right] right | _ { left | z ^ { prime} -z right |} ^ { infty} & = 2 pi lim _ { epsilon to 0} left [{ frac {e ^ {(ik_ {0} - epsilon) infty}} {ik_ {0} - epsilon}} - { frac {e ^ {(ik_ {0} - epsilon) { left | z ^ { prime} -z right |}}} {ik_ {0} - epsilon}} right]. end {выравнивается}}}$

потом ${ displaystyle epsilon in mathbb {R}}$ подразумевает ${ displaystyle lim _ { epsilon to 0} e ^ {- epsilon infty} = 0}$, следовательно ${ displaystyle lim _ { epsilon to 0} e ^ {(ik_ {0} - epsilon) infty} = lim _ { epsilon to 0} e ^ {ik_ {0} infty} e ^ {- epsilon infty} = 0}$. Следовательно,

${ displaystyle { begin {align} I & = 2 pi lim _ { epsilon to 0} left [0 - { frac {e ^ {(ik_ {0} - epsilon) { left | z ^ { prime} -z right |}}} {ik_ {0} - epsilon}} right] & = - 2 pi { frac {e ^ {ik_ {0} { left | z ^ { prime} -z right |}}} {ik_ {0}}} & = 2 pi i { frac {e ^ {ik_ {0} { left | z ^ { prime} - z right |}}} {k_ {0}}}. end {выравнивается}}}$

Теперь, подставляя этот результат обратно в z-интеграл, получаем

${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} (z, t) = { frac {i mathbf {P} _ {0} e ^ {i (kz- omega t)}} {2k_ {0} epsilon _ {0}}} int _ {0} ^ { infty} dz ^ { prime} e ^ {ik left (z ^ { prime} -z right)} e ^ {ik_ {0} left | zz ^ { prime} right |}}$

Заметь ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {е, p}}}$ теперь только функция ${ displaystyle z}$ и нет ${ displaystyle mathbf {r}}$, что и следовало ожидать для данной симметрии.

Эта интеграция должна быть разделена на две части из-за абсолютного значения ${ Displaystyle влево | Z-Z ^ { prime} right |}$ внутри подынтегрального выражения. Регионы ${ displaystyle z <0}$ и ${ displaystyle z> 0}$. Опять же, необходимо ввести коэффициент сходимости для вычисления обоих интегралов, и результат будет

${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} (z, t) = - { frac { mathbf {P} e ^ {- i omega t}} {2 эпсилон _ {0} k_ {0}}} left {{ begin {array} {l} {{ frac {1} {k + k_ {0}}} e ^ {- ik_ {0} z} } & {z <0} {{ frac {2k_ {0}} {k_ {0} ^ {2} -k ^ {2}}} e ^ {ikz} + { frac {1} {k -k_ {0}}} e ^ {ik_ {0} z}} & {z> 0.} end {array}} right.}$

Вместо подключения ${ displaystyle { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {е, p}}}$ непосредственно в выражение для электрического поля можно сделать несколько упрощений. Начнем с локон векторной идентичности локона,

${ displaystyle nabla times ( nabla times mathbf {{ boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}}}) = nabla ( nabla cdot mathbf {{ boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}}}) - nabla ^ {2} mathbf {{ boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}}}}$,

следовательно,

${ displaystyle { begin {align} mathbf {E} _ { mathrm {p}} & = nabla times nabla times { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e}} - { frac { mathbf {P}} { epsilon _ {0}}} & = nabla ( nabla cdot { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}}) - набла ^ {2} { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} - { frac { mathbf {P}} { epsilon _ {0}}}. end {выровнено}} }$

Заметь ${ displaystyle nabla cdot { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} = 0}$ потому что ${ displaystyle mathbf {P}}$ не имеет ${ displaystyle { mathbf {z}}}$ зависимости и всегда перпендикулярна ${ displaystyle { hat { mathbf {z}}}}$. Также обратите внимание, что второй и третий члены эквивалентны неоднородному волновому уравнению, поэтому

${ displaystyle { begin {align} mathbf {E} _ { mathrm {p}} & = - { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}}} { partial t ^ {2}}} & = - { frac {1} {c ^ {2}}} (- i omega) ^ {2} { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} & = k_ {0} ^ {2} { boldsymbol { pi}} _ { mathrm { e, p}} end {выровнено}}}$

Следовательно, полное поле равно

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = mathbf {E} _ {0} e ^ {i left (k_ {0} z- omega t right)} + k_ {0} ^ { 2} { boldsymbol { pi}} _ { mathrm {e, p}} (z, t)}$

который становится,

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = left {{ begin {array} {l} { mathbf {E} _ {0} e ^ {i left (k_ {0} z- omega t right)} - ​​{ frac { mathbf {P}} {2 epsilon _ {0}}} { frac {k_ {0}} {k + k_ {0}}} e ^ {- i left (k_ {0} z + omega t right)}} & {z <0} { mathbf {E} _ {0} e ^ {i left (k_ {0} z- omega t right)} - ​​{ frac { mathbf {P}} {2 epsilon _ {0}}} { frac {k_ {0}} {k-k_ {0}}} e ^ {i left (k_ {0} z- omega t right)} - ​​{ frac { mathbf {P}} { epsilon _ {0}}} { frac {k_ {0} ^ {2}} {k_ { 0} ^ {2} -k ^ {2}}} e ^ {i (kz- omega t)}} & {z> 0.} End {array}} right.}$

Теперь сосредоточьтесь на поле внутри диэлектрика. Используя тот факт, что ${ Displaystyle mathbf {E} (г, т)}$ сложно, можно сразу написать

${ displaystyle mathbf {E} (z> 0, t) = mathbf {E} e ^ {i left (k_ {0} z- omega t right)}}$

напомним также, что внутри диэлектрика ${ displaystyle mathbf {P} = epsilon _ {0} chi mathbf {E}}$.

Тогда путем согласования коэффициентов находим,

${ Displaystyle е ^ {я влево (kz- omega t right)} Rightarrow 1 = - chi { frac {k_ {0} ^ {2}} {k_ {0} ^ {2} -k ^ {2}}}}$

и

${ displaystyle e ^ {я left (k_ {0} z- omega t right)} Rightarrow 0 = mathbf {E} _ {0} - { frac { chi} {2}} { гидроразрыв {k_ {0}} {k-k_ {0}}} mathbf {E}}$.

Первое соотношение быстро дает волновой вектор в диэлектрике через падающую волну как

${ displaystyle { begin {align} k & = { sqrt {1+ chi}} k_ {0} & = nk_ {0}. end {align}}}$

Используя этот результат и определение ${ displaystyle mathbf {P}}$ во втором выражении дает вектор поляризации через падающее электрическое поле как

${ displaystyle mathbf {P} = 2 epsilon _ {0} (n-1) mathbf {E} _ {0}.}$

Оба этих результата можно подставить в выражение для электрического поля, чтобы получить окончательное выражение

${ displaystyle mathbf {E} (z, t) = left {{ begin {array} {l} { mathbf {E} _ {0} e ^ {i left (k_ {0} z- omega t right)} - ​​ left ({ frac {n-1} {n + 1}} right) mathbf {E} _ {0} e ^ {- i left (k_ {0} z + omega t right)}} & {z <0} { left ({ frac {2} {n + 1}} right) mathbf {E} _ {0} e ^ {i left (nk_ {0} z- omega t right)}} & {z> 0.} end {array}} right.}$

Это именно тот результат, который ожидался. Внутри среды есть только одна волна, скорость которой уменьшена на n. Также восстанавливаются ожидаемые коэффициенты отражения и передачи.

Длины экстинкции и тесты специальной теории относительности

Характерная «длина экстинкции» среды - это расстояние, после которого исходная волна может считаться полностью замененной. Для видимого света, распространяющегося в воздухе на уровне моря, это расстояние составляет примерно 1 мм.^[6] В межзвездном пространстве длина угасания света составляет 2 световых года.^[7] На очень высоких частотах электроны в среде не могут «следовать» за исходной волной в колебание, что позволяет этой волне распространяться намного дальше: для гамма-лучей с энергией 0,5 МэВ длина составляет 19 см воздуха и 0,3 мм люцита, и для 4,4 ГэВ, 1,7 м в воздухе и 1,4 мм в углероде.^[8]

Специальная теория относительности предсказывает, что скорость света в вакууме не зависит от скорости источника, излучающего его. Это широко распространенное предсказание время от времени проверялось с помощью астрономических наблюдений.^[6][7] Например, в двойной звездной системе две звезды движутся в противоположных направлениях, и можно проверить предсказание, проанализировав их свет. (См., Например, Эксперимент с двойной звездой де Ситтера К сожалению, длина угасания света в космосе сводит на нет результаты любых подобных экспериментов с использованием видимого света, особенно с учетом толстого облака стационарного газа, окружающего такие звезды.^[6] Однако эксперименты с использованием рентгеновских лучей, испускаемых двойными пульсарами, с гораздо большей длиной экстинкции, оказались успешными.^[7]

Рекомендации