Экспоненциальная дихотомия - Википедия - Exponential dichotomy

в математический теория динамические системы, экспоненциальная дихотомия является собственностью точка равновесия что расширяет идею гиперболичность не-автономные системы.

Определение

Если

${ Displaystyle { точка { mathbf {x}}} = А (т) mathbf {x}}$

это линейный неавтономная динамическая система в р^п с матрица фундаментальных решений Φ (т), Φ (0) = я, то точка равновесия 0 говорят, что имеет экспоненциальная дихотомия если существует (постоянная) матрица п такой, что п² = п и положительные константы K, L, α и β такие, что

${ Displaystyle || Phi (t) P Phi ^ {- 1} (s) || leq Ke ^ {- alpha (t-s)} { mbox {for}} s leq t < infty}$

и

${ Displaystyle || Phi (t) (IP) Phi ^ {- 1} (s) || leq Le ^ {- beta (st)} { mbox {for}} s geq t> - infty.}$

Если, кроме того, L = 1/K и β = α, то 0 говорят, что имеет равномерная экспоненциальная дихотомия.

Константы α и β позволяют определить спектральное окно точки равновесия (−α, β).

Объяснение

Матрица п является проекцией на устойчивое подпространство и я − п является проекцией на неустойчивое подпространство. Экспоненциальная дихотомия говорит о том, что норма проекции на стабильное подпространство любой орбиты в системе распадается экспоненциально в качестве т → ∞ и норма проекции на неустойчивое подпространство любой орбиты экспоненциально убывает как т → −∞, и, кроме того, устойчивое и неустойчивое подпространства сопряжены (поскольку ${ Displaystyle scriptstyle P oplus (I-P) = mathbb {R} ^ {n}}$).

Точка равновесия с экспоненциальной дихотомией обладает многими свойствами гиперболической точки равновесия в автономные системы. Фактически, можно показать, что гиперболическая точка имеет экспоненциальную дихотомию.

Рекомендации

• Коппель, В.А. Дихотомии в теории устойчивости, Springer-Verlag (1978), ISBN  978-3-540-08536-2 Дои:10.1007 / BFb0067780