Факторная система - Factor system

В математика, а факторная система (иногда называют набор факторов) является основным инструментом Отто Шрайер Классическая теория проблема расширения группы.^[1][2] Он состоит из набора автоморфизмов и бинарной функции на группа удовлетворяющие определенному условию (так называемые состояние коцикла). Фактически факторная система представляет собой реализацию коциклов во втором группа когомологий в групповые когомологии.^[3]

Вступление

Предполагать грамм это группа и А - абелева группа. Для расширения группы

${ Displaystyle 1 к А к Х к G к 1,}$

существует факторная система, состоящая из функции ж : грамм × грамм → А и гомоморфизм σ: грамм → Aut (А) так что декартово произведение грамм × А группа Икс в качестве

${ displaystyle (g, a) * (h, b): = (gh, f (g, h) a ^ { sigma (h)} b).}$

Так ж должен быть "групповым 2-коциклом" (символически Ext (грамм, А) ≅ H²(грамм, А)). Фактически, А не обязательно должен быть абелевым, но для неабелевых групп ситуация сложнее^[4]

Если ж тривиально и σ дает внутренние автоморфизмы, то расширение группы разделяется, поэтому Икс становиться полупрямой продукт из грамм с А.

Если групповая алгебра дана, то факторная система ж изменяет эту алгебру на косогрупповая алгебра путем изменения групповой операции ху к ж(Икс, y)ху.

Применение: для абелевых расширений поля.

Позволять грамм быть группой и L поле, на котором грамм действует как автоморфизмы. А коцикл или же (Нётер) факторная система^[5]:31 это карта c:грамм × грамм → L^* удовлетворение

${ displaystyle c (h, k) ^ {g} c (hk, g) = c (h, kg) c (k, g).}$

Коциклы эквивалент если существует система элементов а : грамм → L^* с

${ displaystyle c '(g, h) = c (g, h) (a_ {g} ^ {h} a_ {h} a_ {gh} ^ {- 1}).}$

Коциклы формы

${ displaystyle c (g, h) = a_ {g} ^ {h} a_ {h} a_ {gh} ^ {- 1}}$

называются расколоть. Коциклы относительно умножения по модулю расщепленных коциклов образуют группу, вторая группа когомологий H²(грамм,L^*).

Алгебры скрещенных произведений

Возьмем случай, когда грамм это Группа Галуа из расширение поля L/K. Факторная система c в H²(грамм,L^*) порождает алгебра скрещенных произведений^[5]:31 А, что является K-алгебра, содержащая L как подполе, порожденное элементами λ из L и ты_грамм с умножением

${ displaystyle lambda u_ {g} = u_ {g} lambda ^ {g},}$

${ displaystyle u_ {g} u_ {h} = u_ {gh} c (g, h).}$

Эквивалентные факторные системы соответствуют смене базиса в А над K. Мы можем написать

${ displaystyle A = (L, G, c).}$

Алгебра скрещенных произведений А это центральная простая алгебра степени равной [L: K].^[6] Верно и обратное: каждый центральная простая алгебра над K что разделяется L и такой, что град A = [L: K] возникает таким образом.^[6] Тензорное произведение алгебр соответствует умножению соответствующих элементов в H². Таким образом, мы получаем отождествление Группа Брауэра, где элементами являются классы CSA над K, с H².^[7][8]

Циклическая алгебра

Далее ограничимся случаем, когда L/K является циклический с группой Галуа грамм порядка п создано т. Позволять А быть скрещенным продуктом (L,грамм,c) с множителем c. Позволять ты = ты_т быть генератором в А соответствующий т. Мы можем определить другие генераторы

${ Displaystyle и_ {т ^ {я}} = и ^ {я} ,}$

а затем у нас есть ты^п = а в K. Этот элемент а определяет коцикл c к^[5]:33

${ displaystyle c (t ^ {i}, t ^ {j}) = { begin {case} 1 & { text {if}} i + j$

Таким образом, имеет смысл обозначать А просто (L,т,а). тем не мение а не определяется однозначно А так как мы можем умножать ты любым элементом λ из L^* а потом а умножается на произведение сопряженных к λ. Следовательно А соответствует элементу группы нормальных вычетов K^*/ N_L/KL^*. Получаем изоморфизмы

${ displaystyle operatorname {Br} (L / K) Equiv K ^ {*} / N_ {L / K} L ^ {*} Equiv H ^ {2} (G, L ^ {*}).}$

Рекомендации

• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Universitext. Перевод с немецкого Сильвио Леви. В сотрудничестве с переводчиком. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-57029-2. Zbl  0874.16002.
• Райнер, И. (2003). Максимальные заказы. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 28. Oxford University Press. ISBN  0-19-852673-3. Zbl  1024.16008.
• Солтман, Дэвид Дж. (1999). Лекции по алгебрам с делением. Серия региональных конференций по математике. 94. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0979-2. Zbl  0934.16013.