Фильтр (моделирование больших вихрей) - Википедия - Filter (large eddy simulation)

Фильтрация в контексте моделирование больших вихрей (LES) - математическая операция, предназначенная для удаления ряда мелких масштабов из решения в Уравнения Навье-Стокса. Поскольку основная трудность моделирования турбулентных потоков связана с широким диапазоном масштабов длины и времени, эта операция удешевляет моделирование турбулентных потоков за счет уменьшения диапазона масштабов, которые необходимо разрешить. LES-фильтр работает с низкими частотами, то есть он отфильтровывает шкалы, связанные с высокими частотами.

Гомогенные фильтры

Поле скорости, создаваемое прямое численное моделирование (DNS) из однородная затухающая турбулентность. Размер домена

L 3

.

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с использованием коробчатый фильтр и

Δ = L /32

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с использованием коробчатый фильтр и

Δ = L /16

Определение в физическом пространстве

Операция фильтрации нижних частот, используемая в LES, может применяться к пространственному и временному полю, например ${ displaystyle phi ({ boldsymbol {x}}, т)}$ . Операция фильтра LES может быть пространственной, временной или и тем, и другим. Отфильтрованное поле, обозначенное полосой, определяется как:^[1]^[2]

{ displaystyle { overline { phi ({ boldsymbol {x}}, t)}} = displaystyle { int _ {- infty} ^ { infty}} int _ {- infty} ^ { infty} phi ({ boldsymbol {r}}, t ^ { prime}) G ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}}, tt ^ { prime}) dt ^ { prime} d { boldsymbol {r}},}

куда ${ displaystyle G}$ - ядро свертки, уникальное для используемого типа фильтра. Это можно записать как операцию свертки:

{ displaystyle { overline { phi}} = G star phi.}

Ядро фильтра ${ displaystyle G}$ использует длину отсечки и шкалы времени, обозначенные ${ displaystyle Delta}$ и ${ displaystyle tau _ {c},}$ соответственно. Чешуйки меньшего размера исключаются из ${ displaystyle { overline { phi}}.}$ Используя это определение, любое поле ${ displaystyle phi}$ может быть разделен на отфильтрованную и частично отфильтрованную (обозначенную штрихом) части, как

{ displaystyle phi = { bar { phi}} + phi ^ { prime}.}

Это также можно записать как операцию свертки,

{ displaystyle phi ^ { prime} = left (1-G right) star phi.}

Определение в спектральном пространстве

Операция фильтрации удаляет шкалы, связанные с высокими частотами, и, соответственно, операцию можно интерпретировать как Пространство Фурье. Для скалярного поля ${ displaystyle phi ({ boldsymbol {x}}, т),}$ в преобразование Фурье из ${ displaystyle phi}$ является ${ displaystyle { hat { phi}} ({ boldsymbol {k}}, omega),}$ функция ${ displaystyle { boldsymbol {k}},}$ пространственное волновое число, и ${ displaystyle omega,}$ временная частота. ${ displaystyle { hat { phi}}}$ можно отфильтровать по соответствующим преобразование Фурье ядра фильтра, обозначенного ${ displaystyle { hat {G}} ({ boldsymbol {k}}, omega):}$

{ displaystyle { overline { hat { phi}}} ({ boldsymbol {k}}, omega) = { hat { phi}} ({ boldsymbol {k}}, omega) { шляпа {G}} ({ boldsymbol {k}}, omega)}

или же,

{ displaystyle { overline { hat { phi}}} = { hat {G}} { hat { phi}}.}

Ширина фильтра ${ displaystyle Delta}$ имеет связанный волновой номер отсечки ${ displaystyle k_ {c},}$ и временная ширина фильтра ${ displaystyle tau _ {c}}$ также имеет связанную частоту среза ${ displaystyle omega _ {c}.}$ Нефильтрованная часть ${ displaystyle { hat { phi}}}$ является:

{ displaystyle { hat { phi ^ { prime}}} = (1 - { hat {G}}) { hat { phi}}.}

Спектральная интерпретация операции фильтрации важна для операции фильтрации при моделировании больших вихрей, поскольку спектры турбулентных течений является центральным элементом подсеточных моделей LES, которые реконструируют эффект масштабов подфильтра (самые высокие частоты). Одна из задач подсеточного моделирования - эффективно имитировать каскад кинетической энергии от низких до высоких частот. Это делает спектральные свойства реализованного LES-фильтра очень важными для моделирования подсеток.

Свойства однородного фильтра

Однородные фильтры LES должны удовлетворять следующему набору свойств при применении к уравнениям Навье-Стокса.^[1]

1. Сохранение констант

Значение отфильтрованной константы должно быть равно константе,

{ displaystyle { overline {a}} = а,}

что означает,

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} G ({ boldsymbol { xi}}, t ^ { prime}) d ^ { 3} { boldsymbol { xi}} dt ^ { prime} = 1.}

2. Линейность

{ displaystyle { overline { phi + psi}} = { overline { phi}} + { overline { psi}}.}

3. Коммутация с производными.

{ displaystyle { overline { frac { partial phi} { partial s}}} = { frac { partial { overline { phi}}} { partial s}}, qquad s = { boldsymbol {x}}, т.}

Если ввести обозначения для коммутации операторов

{ displaystyle [f, g]}

для двух произвольных операторов

{ displaystyle f}

и

{ displaystyle g}

, куда

{ Displaystyle [е, г] фи = е сирк г ( фи) -g сирк ф ( фи) = е (г ( фи)) - г (е ( фи)),}

то это третье свойство можно выразить как

{ displaystyle left [G star, { frac { partial} { partial s}} right] = 0.}

Фильтры, удовлетворяющие этим свойствам, обычно не Операторы Рейнольдса, то есть сначала:

{ displaystyle { begin {array} {rcl} { overline { overline { phi}}} & neq & { overline { phi}}, G star G star phi = G ^ {2} star phi & neq & G star phi, end {array}}}

и во-вторых,

{ displaystyle { overline { phi ^ { prime}}} = G star (1-G) star phi neq 0.}

Неоднородные фильтры

Реализации операций фильтрации для всех потоков, кроме простейших, представляют собой операции неоднородной фильтрации. Это означает, что поток либо имеет непериодические границы, вызывающие проблемы с определенными типами фильтров, либо имеет непостоянную ширину фильтра. ${ displaystyle Delta}$ , или оба. Это предотвращает коммутацию фильтра с производными, а операция коммутации приводит к нескольким дополнительным ошибочным членам:

{ displaystyle { begin {array} {rcl} left [{ frac { partial} { partial { boldsymbol {x}}}}, G star right] phi & = & { frac { partial} { partial { boldsymbol {x}}}} left (G star phi right) -G star { frac { partial phi} { partial { boldsymbol {x}}} } & = & { frac { partial} { partial { boldsymbol {x}}}} int _ { Omega} G ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {r}}, Delta ({ boldsymbol {x}}, t)) phi ({ boldsymbol {r}}, t) d { boldsymbol {r}} - G star { frac { partial phi} { partial { boldsymbol {x}}}} & = & left ({ frac { partial G} { partial Delta}} star phi right) { frac { partial Delta} { partial x}} + int _ {d Omega} G (xr, Delta (x, t)) phi (r, t) { boldsymbol {n}} dS end {array}},}

куда ${ displaystyle { boldsymbol {n}}}$ - вектор, нормальный к поверхности границы ${ displaystyle Omega}$ и ${ displaystyle d Omega.}$ ^[1]

Оба члена появляются из-за неоднородностей. Первый связан с пространственным изменением размера фильтра. ${ displaystyle Delta,}$ а второй - из-за границы домена. Аналогично коммутация фильтра ${ displaystyle G}$ с временной производной приводит к ошибке, возникающей из-за временного изменения размера фильтра,

{ displaystyle left [{ frac { partial} { partial t}}, G star right] = left ({ frac { partial G} { partial Delta}} star phi справа) { frac { partial Delta} { partial t}}.}

Было предложено несколько операций фильтрации, которые устраняют или минимизируют эти ошибки.^{[нужна цитата ]}

Классические фильтры моделирования больших вихрей

Турбулентный энергетический спектр и эффект от операций фильтрации ^[3]

Для пространственной фильтрации при моделировании больших вихрей обычно используются три фильтра. Определение ${ Displaystyle G ({ boldsymbol {x}}, т)}$ и ${ displaystyle { hat {G}} ({ boldsymbol {k}}, omega),}$ дается обсуждение важных свойств.^[2]