Конечная алгебра фон Неймана - Finite von Neumann algebra

В математика, а конечная алгебра фон Неймана это алгебра фон Неймана в котором каждый изометрия это унитарный. Другими словами, для оператора V в конечной алгебре фон Неймана, если ${displaystyle V ^ {*} V = I}$, тогда ${displaystyle VV ^ {*} = I}$. Что касается сравнительная теория прогнозов, тождественный оператор не эквивалентен (по Мюррею-фон Нейману) никакому собственному подпроектору в алгебре фон Неймана.

Характеристики

Позволять ${displaystyle {mathcal {M}}}$ обозначим конечную алгебру фон Неймана с центр ${displaystyle {mathcal {Z}}}$. Одним из основных характерных свойств конечных алгебр фон Неймана является наличие центральнозначного следа. Это нормальный положительное ограниченное отображение ${displaystyle au: {mathcal {M}} o {mathcal {Z}}}$ со свойствами:

• ${displaystyle au (AB) = au (BA), A, Bin {mathcal {M}}}$,
• если ${displaystyle Ageq 0}$ и ${displaystyle au (A) = 0}$ тогда ${displaystyle A = 0}$,
• ${displaystyle au (C) = C}$ за ${displaystyle Cin {mathcal {Z}}}$,
• ${displaystyle au (CA) = C au (A)}$ за ${displaystyle Ain {mathcal {M}}}$ и ${displaystyle Cin {mathcal {Z}}}$.

Примеры

Конечномерные алгебры фон Неймана

Конечномерные алгебры фон Неймана можно охарактеризовать с помощью Wedderburn теория полупростые алгебры.Позволять C^{п × п} быть п × п матрицы со сложными элементами. А алгебра фон Неймана M является самосопряженной подалгеброй в C^{п × п} такой, что M содержит оператор идентичности я в C^{п × п}.

Каждый такой M как определено выше, является полупростая алгебра, т.е. не содержит нильпотентных идеалов. Предполагать M ≠ 0 лежит в нильпотентном идеале M. С М * ∈ M по предположению имеем М * Мположительная полуопределенная матрица лежит в этом нильпотентном идеале. Из этого следует (М * М)^k = 0 для некоторых k. Так М * М = 0, т.е. M = 0.

В центр алгебры фон Неймана M будем обозначать Z(M). С M самосопряженный, Z(M) сама является (коммутативной) алгеброй фон Неймана. Алгебра фон Неймана N называется фактор если Z(N) одномерно, т.е. Z(N) состоит из нескольких единиц я.

Теорема Всякая конечномерная алгебра фон Неймана M прямая сумма м факторы, где м это размер Z(M).

Доказательство: Согласно теории полупростых алгебр Веддерберна, Z(M) содержит конечное ортогональное множество идемпотентов (проекций) {п_я} такой, что п_яп_j = 0 для я ≠ j, Σ п_я = я, и

${displaystyle Z (mathbf {M}) = igoplus _ {i} Z (mathbf {M}) P_ {i}}$

где каждый Z(M)П_я является коммутативной простой алгеброй. Любая сложная простая алгебра изоморфна полной матричной алгебре C^{k × k} для некоторых k. Но Z(M)П_я коммутативна, поэтому одномерна.

Прогнозы п_я «диагонализирует» M естественным образом. За M ∈ M, M можно однозначно разложить на M = Σ Депутат_я. Следовательно,

${displaystyle {mathbf {M}} = igoplus _ {i} {mathbf {M}} P_ {i}.}$

Видно, что Z(Mп_я) = Z(M)П_я. Так Z(Mп_я) одномерно и каждая Mп_я фактор. Это доказывает утверждение.

Для общих алгебр фон Неймана прямая сумма заменяется на прямой интеграл. Вышесказанное является частным случаем центральное разложение алгебр фон Неймана.

Абелевы алгебры фон Неймана

Тип ${displaystyle II_ {1}}$ факторы

Рекомендации

• Kadison, R. V .; Рингроуз, Дж. Р. (1997). Основы теории операторных алгебр. II: Продвинутая теория. AMS. п. 676. ISBN  978-0821808207.

• Sinclair, A.M .; Смит, Р. Р. (2008). Конечные алгебры фон Неймана и масас. Издательство Кембриджского университета. п. 410. ISBN  978-0521719193.