Финитистская теория множеств - Википедия - Finitist set theory

Конечная теория множеств (FST)^[1] теория коллекций, предназначенная для моделирования конечных вложенных структур отдельных лиц и множества переходный и антитранзитивный цепочки связи между людьми. В отличие от классических установить теории Такие как ZFC и КПУ, FST не предназначен для использования в качестве основы математики, а только как инструмент в онтологическое моделирование. FST функционирует как логическая основа классической интерпретации слоеного пирога,^[2] и ему удается включить большую часть функций дискретная мереология.

Модели FST относятся к типу ${ displaystyle {U _ { alpha}, S _ { beta}, in }}$, сокращенно ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$. ${ displaystyle U _ { alpha}}$ это коллекция ur-элементов модели ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$. Ур-элементы (урс) - неделимые примитивы. Присваивая конечное целое число, такое как 2, в качестве значения ${ displaystyle alpha}$, установлено, что ${ displaystyle U _ { alpha}}$ содержит ровно 2 урс. ${ displaystyle S _ { beta}}$ - это коллекция, элементы которой мы будем называть наборами. ${ displaystyle beta geq 0}$ является конечным целым числом, которое обозначает максимальный ранг (уровень вложенности) множеств в ${ displaystyle S _ { beta}}$. Каждый набор в ${ displaystyle S _ { beta}}$ имеет в качестве членов один или несколько наборов, urs или обоих. Назначенный ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ и применяемые аксиомы фиксируют содержание ${ displaystyle U _ { alpha}}$ и ${ displaystyle S _ { beta}}$. Чтобы облегчить использование языка, такие выражения, как "наборы, которые являются элементами ${ displaystyle S _ { beta}}$ модели ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$ и урс, которые являются элементами ${ displaystyle U _ { alpha}}$ модели ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$сокращенно "наборы" и "urs", которые являются элементами ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$".

Формальная разработка FST соответствует его предназначенной функции в качестве инструмента онтологического моделирования. Задача инженера, применяющего FST, - выбрать аксиомы которые дают модель, которая однозначно коррелирует с целевым доменом, который должен быть смоделирован с помощью FST, например, диапазон химические соединения или же социальные конструкции которые встречаются в природе. Целевая область дает инженеру интуитивное представление о содержании модели FST, которая должна быть один-один коррелированный с этим. FST обеспечивает основу, которая облегчает выбор конкретных аксиом, которые дают корреляцию один-один. Аксиомы протяженность и ограничения постулируются во всех версиях FST, но аксиомы построения множеств (аксиомы вложенности и аксиомы объединения) различаются; присвоение конечных целых значений ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ неявно присутствует в выбранных аксиомах построения множества.

Таким образом, FST является не единственной теорией, а названием семейства теорий или версий FST, где каждая версия имеет свой собственный набор конструктивных аксиом и уникальную модель. ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$, имеющий конечную мощность и все его множества имеют конечное классифицировать и мощность. Аксиомы FST сформулированы логика первого порядка дополнен членом отношения ${ displaystyle in}$. Все версии FST - теории первого порядка. В аксиомах и определениях символы ${ displaystyle x, y, z, v, w}$ - переменные для множеств, ${ displaystyle r, s, t}$ являются переменными как для множеств, так и для urs, ${ displaystyle u}$ переменная для urs, а ${ displaystyle a, b, c, d}$ обозначают индивидуальные урны модели. Символы urs могут появляться только с левой стороны ${ displaystyle in}$. Символы наборов могут появляться на обоих ${ displaystyle u in y}$.

Применяемая модель FST всегда является минимальной моделью, удовлетворяющей применяемым аксиомам. Это гарантирует, что в прикладной модели существуют те и только те элементы, которые явно сконструированы выбранными аксиомами: существуют только те urs, о существовании которых заявлено путем присвоения их числа, и существуют только те множества, которые построены с помощью выбранных аксиом; кроме них не существует других элементов. Эта интерпретация необходима для типичных аксиом FST, которые генерируют, например, ровно один комплект ${ Displaystyle {а }}$ не исключайте иначе наборы, такие как ${ Displaystyle { {а } }, { { {а } } }, ldots ,.}$

Полные модели FST

Полные модели FST содержат все перестановки множеств и urs в пределах ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$. Аксиомы для полных моделей FST - это расширяемость, ограничение, одноэлементные множества и объединение множеств. Расширяемость и ограничение являются аксиомами всех версий FST, тогда как аксиома для одноэлементных множеств - это временная аксиома вложенности (${ displaystyle Gamma}$-аксиома), а аксиома объединения множеств является временной аксиомой объединения (${ Displaystyle чашка}$-аксиома).

• Топор. Расширяемость: ${ Displaystyle forall г (г в х leftrightarrow г в y) leftrightarrow х = у}$. Набор ${ displaystyle x}$ идентичен набору ${ displaystyle y}$ если и только если) ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ имеют одинаковые элементы, это могут быть наборы, urs или и то, и другое.
• Топор. Ограничение: ${ Displaystyle forall х существует г (г в х)}$. Каждый набор имеет либо набор, либо ur в качестве члена. Пустой набор ${ Displaystyle {}}$ не имеет членов, поэтому не существует такой вещи, как ${ Displaystyle {}}$ в FST. Урс - единственные ${ displaystyle in}$-минимальные элементы в FST. Каждый набор FST содержит по крайней мере один ur как ${ displaystyle in}$-минимальный член внизу.
• Топор. Одноэлементные наборы: ${ Displaystyle forall r _ {< beta} существует x forall s (s = r leftrightarrow s in x)}$. Для каждого ур и набора ${ displaystyle r}$ который имеет ранг меньше, чем ${ displaystyle beta}$, существует одноэлементное множество ${ Displaystyle х = {г }}$. Ограничение ранга (${ displaystyle r _ {< beta}}$) в аксиоме выполняет работу аксиомы, лежащей в основе традиционных теорий множеств: ограничение ранга множеств заданным конечным ${ displaystyle beta}$ влечет за собой отсутствие необоснованных множеств, поскольку такие множества имели бы трансфинитный ранг. Учитывая урс ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ в ${ Displaystyle { mathcal {M}} _ {2,1}}$, аксиома одноэлементных наборов порождает только наборы ${ Displaystyle {а }}$ и ${ Displaystyle {Ь }}$, тогда как аксиома спаривания традиционных теорий множеств порождает ${ Displaystyle {а }}$, ${ Displaystyle {Ь }}$ и ${ Displaystyle {а, Ь }}$.
• Топор. Союз множеств: ${ Displaystyle forall x forall y существует z forall r ((r in x lor r in y) leftrightarrow r in z)}$. Для всех комплектов ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, существует множество ${ displaystyle z}$ который содержит в качестве членов все те и только те наборы и urs, которые являются членами ${ displaystyle x}$, Члены ${ displaystyle y}$, или члены обоих ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$. Например, если установлено ${ Displaystyle {а }}$ и ${ Displaystyle {Ь }}$ существуют, аксиома объединения множеств утверждает, что множество ${ Displaystyle {а, Ь }}$ существуют. Если устанавливает ${ Displaystyle {а, Ь }}$ и ${ Displaystyle {б, с }}$ существуют, аксиома утверждает, что ${ Displaystyle {а, б, в }}$ существуют. Если ${ Displaystyle {а }}$ и ${ Displaystyle { {Ь } }}$ существуют, аксиома утверждает, что ${ Displaystyle {а, {Ь } }}$ существуют. Эта аксиома отличается от аксиомы объединения традиционных теорий множеств.^[3]

Полные модели FST ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$ содержат все перестановки множеств и urs в пределах заданного ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$. Мощность ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$ это количество наборов и урс ${ Displaystyle наборы ( альфа, бета) + альфа}$.Рассмотрим несколько примеров.

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,0}}$: Один ур ${ displaystyle a}$ существуют. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {1,0}) = наборы (1,0) + 1 = 0 + 1 = 1}$

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,0}}$: Два урса ${ displaystyle a, b}$ существовать. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {2,0}) = устанавливает (2,0) + 2 = 0 + 2 = 2.}$

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$: Один ур ${ displaystyle a}$ и набор ${ Displaystyle {а }}$ существовать. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {1,0}) = наборы ( alpha, beta) + alpha = sets (1,1) + 1 = 1 + 1 = 2.}$

${ Displaystyle { mathcal {M}} _ {2,1}}$: Два урса ${ displaystyle a, b}$ и устанавливает ${ Displaystyle {а }}$, ${ Displaystyle {Ь }}$, ${ Displaystyle {а, Ь }}$ существовать. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {2,1}) = наборы (2,1) + 2 = 3 + 2 = 5.}$

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,2}}$: Один ур ${ displaystyle a}$ и устанавливает ${ Displaystyle {а }}$, ${ Displaystyle { {а } }}$, ${ Displaystyle {а, {а } }}$ существовать. ${ displaystyle card ({ mathcal {M}} _ {1,2}) = устанавливает (1,2) + 1 = 3 + 1 = 4.}$

Рекурсивная формула ${ displaystyle sets ( alpha, beta)}$ дает количество наборов в ${ displaystyle { mathcal {M}} _ { alpha, beta}}$:

${ displaystyle sets ( alpha, 0) = 0.}$

${ displaystyle sets ( alpha, 1) = 2 ^ { alpha} -1.}$

${ displaystyle sets ( alpha, beta) = 2 ^ { alpha + sets ( alpha, beta -1)} - 1.}$

В ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,2}}$ Существуют ${ displaystyle sets (2,2) = 2 ^ {2 + sets (2,1)} - 1 = 2 ^ {2 + 3} -1 = 31}$ наборы.

В ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2,3}}$ Существуют ${ displaystyle sets (2,3) = 2 ^ {2 + 31} -1 = 2 ^ {33} -1}$ наборы.

Определения FST

Определения FST следует понимать как практические соглашения об именах, которые используются для утверждения, что элементы прикладной модели FST связаны или не взаимосвязаны определенным образом. Определения не следует рассматривать как аксиомы: только аксиомы влекут за собой существование элементов модели FST, а не определения. Во избежание конфликтов (особенно с аксиомами для неполных моделей FST) определения должны быть подчинены применяемым аксиомам с заданными ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$. Чтобы проиллюстрировать кажущийся конфликт, предположим, что ${ Displaystyle {а, Ь }}$ и ${ Displaystyle {б, с }}$ являются единственными наборами применяемой модели. Определение пересечения гласит, что ${ displaystyle {a, b } cap {b, c } = {b }}$. В качестве ${ Displaystyle {Ь }}$ не существует в прикладной модели, определение пересечения может показаться аксиомой. Однако это только очевидно, поскольку ${ Displaystyle {Ь }}$ не обязательно существовать, чтобы утверждать, что единственный общий элемент ${ Displaystyle {а, Ь }}$ и ${ displaystyle {b, c }}$ является ${ displaystyle b}$, которая является функцией определения пересечения. Аналогично со всеми определениями.

• Def. Классифицировать. Ранг набора является формальным аналогом уровня индивида. Это звание набора ${ displaystyle x}$ является ${ displaystyle n}$, записывается как ${ Displaystyle { rm {rank}} (х) = п}$, и сокращенно ${ displaystyle x _ { beta}}$ в некоторых аксиомах вложенности. По соглашению, ранг ur-элемента равен 0. Поскольку в FST нет пустого множества, наименьший возможный ранг набора FST равен 1, тогда как в традиционных теориях множеств ранг {} равен 0. ранг набора ${ displaystyle z}$ определяется как самый высокий уровень вложенности из всех ${ displaystyle in}$-минимальные элементы ${ displaystyle z}$. Ранг ${ Displaystyle {а }}$ равно 1, так как уровень вложенности ${ displaystyle a}$ в ${ Displaystyle {а }}$ равно 1. Ранг ${ Displaystyle { {а } }}$ равно 2, так как ${ displaystyle a}$ вложен двумя концентрическими наборами. Ранг ${ Displaystyle { {а }, а }}$ равно 2, так как 2 - это самый высокий уровень вложенности из всех ${ displaystyle in}$-минимальные элементы ${ Displaystyle { {а }, а }}$. Ранг ${ Displaystyle { { {а } } }}$ 3, ранг ${ Displaystyle { { { {а } } } }}$ равно 4 и так далее. Формально:

${ displaystyle { rm {rank}} (s) = 0 leftrightarrow s}$ это ур-элемент.

${ displaystyle { rm {rank}} (s) geq n}$, куда ${ Displaystyle п geq 1}$, определяется как: ${ displaystyle exists s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {n} (s_ {1} in s_ {2} in ldots in s_ {n} in s).}$

${ displaystyle { rm {rank}} (s) = n}$, куда ${ Displaystyle п geq 1}$, определяется как: ${ displaystyle { rm {rank}} (s) geq n land lnot ({ rm {rank}} (s) geq n + 1).}$

Применяя определение ${ displaystyle n}$-член (ниже) ранг можно определить как:

${ displaystyle { rm {rank}} (s) = 0 leftrightarrow s}$ это ур-элемент.

${ Displaystyle { rm {ранг}} (г) = п}$, определяется как ${ Displaystyle существует a (a in _ {n} x) land not exists a (a in _ {n + 1} x).}$

• Def. Подмножество: ${ Displaystyle forall г (г в х rightarrow г в у)}$, обозначается как ${ displaystyle x substeq y}$. ${ displaystyle x}$ это подмножество ${ displaystyle y}$ если и только каждый член ${ displaystyle x}$ является членом ${ displaystyle y}$. Примеры: ${ Displaystyle {а } substeq {а }}$; ${ Displaystyle {а, б } субстек {а, б, с }}$. Который ${ displaystyle x}$ не является частью ${ displaystyle y}$ записывается как ${ Displaystyle х not substeq y}$. Примеры: ${ Displaystyle {а } not substeq {б }}$; ${ Displaystyle {а, б } не субстек {б, с }}$. За счет исключения пустого множества ${ Displaystyle {}}$, в FST ${ displaystyle x substeq y}$ означает, что все члены ${ displaystyle x}$ являются членами ${ displaystyle y}$, и существует хотя бы один член в ${ displaystyle x}$ и по крайней мере один член в ${ displaystyle y}$. В традиционных теориях множеств, где ${ Displaystyle {}}$ существовать, ${ displaystyle x substeq y}$ Значит это ${ displaystyle x}$ не имеет членов, которые { it не} являются членами ${ displaystyle y}$. Следовательно, в традиционных теориях множеств ${ Displaystyle {} substeq y}$ справедливо для каждого ${ displaystyle y}$.

• Def. Правильное подмножество: ${ Displaystyle х substeq y земля у not substeq x,}$ обозначается как ${ Displaystyle х подмножество у}$. ${ displaystyle x}$ является собственным подмножеством ${ displaystyle y}$ если только ${ displaystyle x}$ это подмножество ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle y}$ не является частью ${ displaystyle x}$. Примеры: ${ Displaystyle {а } подмножество {а, б }}$; ${ displaystyle {a, b } subset {a, b, c }}$. Который ${ displaystyle x}$ не является правильным подмножеством ${ displaystyle y}$ записывается как ${ Displaystyle х не подмножество у}$. Примеры: ${ Displaystyle {а } not subset {а }}$; ${ Displaystyle {а, б, с } не подмножество {а, б }}$. В FST, ${ Displaystyle х подмножество у}$ означает, что все члены ${ displaystyle x}$ являются членами ${ displaystyle y}$, есть хотя бы один член в ${ displaystyle x}$, минимум два члена в ${ displaystyle y}$, и хотя бы один член ${ displaystyle y}$ не является членом ${ displaystyle x}$. В традиционных теориях множеств ${ Displaystyle х подмножество у}$ Значит это ${ displaystyle x}$ не имеет членов, которые { it не} являются членами ${ displaystyle y}$, и ${ displaystyle y}$ имеет по крайней мере один член, который не является членом ${ displaystyle x}$. Следовательно, в традиционных теориях множеств ${ displaystyle {} subset y}$ справедливо для каждого ${ displaystyle y}$ куда ${ Displaystyle у neq {}}$.
  

• Def. Несвязанность: ${ Displaystyle не существует г (г в х земля р у),}$ обозначается как ${ displaystyle x wr y}$. ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ непересекаются, если у них нет общих членов. Примеры: ${ Displaystyle {а } wr {Ь }}$ (когда ${ displaystyle a neq b}$); ${ Displaystyle {а } wr { {а } }}$.
  

• Def. Перекрывать: ${ Displaystyle существует г (г в х земля р в у),}$ обозначается как ${ displaystyle x circ y}$. ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ перекрываются, если у них есть один или несколько общих членов. Примеры: ${ Displaystyle {а } circ {а }}$; ${ displaystyle {a, b } circ {b, c }}$. Непересекаемость противоположна перекрытию: ${ Displaystyle х круг у leftrightarrow lnot (х wr y)}$; ${ Displaystyle lnot (х круг у) leftrightarrow х wr y}$.
  

• Def. Пересечение: ${ Displaystyle forall г ((г в х земля р у) leftrightarrow г в г),}$ обозначается как ${ displaystyle z = x cap y}$. Пересечение ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle z = x cap y}$, содержит те и только те наборы и ur-элементы, которые являются членами обоих ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$. Примеры: ${ Displaystyle {а } крышка {а } = {а }}$; ${ displaystyle {a, b, c } cap {b, c, d } = {b, c }}$. Поскольку пустое множество не существует в FST, пересечение двух непересекающихся множеств не существует. Когда ${ displaystyle r neq s}$, ${ displaystyle {r } cap {s } = y}$ не верно ни для одного ${ displaystyle y}$. В этом случае отношение дизъюнктности ${ displaystyle wr}$ может быть использован: ${ Displaystyle {г } wr {с }}$. В традиционных теориях множеств пересечение двух непересекающихся множеств { it} пустое множество: ${ Displaystyle {а } крышка {Ь } = {}}$. Если бы аксиома ограничения была удалена и постулировалось существование пустого множества, это все равно не означало бы, что пустое множество { it является} пересечением двух непересекающихся множеств.
  

• Def. Союз: ${ Displaystyle forall г ((г в х лор р у) leftrightarrow г в г),}$ обозначается как ${ Displaystyle Z = х чашка у}$. Набор ${ displaystyle z}$ содержит в качестве членов все те наборы и ur-элементы, которые являются членами ${ displaystyle x}$, Члены ${ displaystyle y}$, или члены обоих ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$. Примеры: ${ Displaystyle {а } чашка {а } = {а }}$; ${ Displaystyle {а, б } чашка {б, с } = {а, б, с }}$; ${ Displaystyle {а } чашка { {Ь } } = {а, {Ь } }}$.
  

• Теорема о слабом дополнении: ${ displaystyle x subset y rightarrow exists z (z subset y land z wr x).}$ ^[4] Слабое дополнение (WS) означает, что правильное подмножество ${ displaystyle x}$ из ${ displaystyle y}$ не весь ${ displaystyle y}$, но должно быть дополнено другим подмножеством ${ displaystyle z}$ сочинять ${ displaystyle y}$, куда ${ displaystyle z}$ и ${ displaystyle x}$ не пересекаются. В FST, когда ${ displaystyle x}$ является собственным подмножеством ${ displaystyle y}$, тогда ${ displaystyle y}$ есть другое подмножество ${ displaystyle z}$ это не пересекается с ${ displaystyle x}$. Например, ${ displaystyle {a } subset {a, b } rightarrow ( {b } subset {a, b } land {b } wr {a })}$ верно во всех моделях FST, содержащих множество ${ Displaystyle {а, Ь }}$.

• Def. Разница: ${ Displaystyle forall г (г в г leftrightarrow (г в х земля г notin у)),}$ обозначается как ${ displaystyle z = x setminus y.}$ Разница ${ displaystyle z}$ из ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ содержит каждого члена ${ displaystyle x}$ который не является членом ${ displaystyle y}$. Примеры: ${ Displaystyle {а } setminus {Ь } = {а }}$; ${ Displaystyle {а, б, с } setminus {а, б } = {с }}$. Поскольку пустого множества не существует, нельзя сказать, что ${ Displaystyle {х } setminus {х } = {}}$. Если ${ displaystyle x}$ это подмножество ${ displaystyle y}$, не существует ${ displaystyle z}$ такой, что ${ displaystyle z = x setminus y}$: ${ displaystyle forall x, y (x substeq y leftrightarrow not exists z (z = x setminus y)).}$
  

• Def. Мощность. Мощность обозначает количество членов набора. Мощность определяется только для множеств: ur-элементы не имеют мощности. Мощность ${ Displaystyle {г }}$ равно 1, независимо от того, ${ displaystyle r}$ это набор или ур-элемент. Наименьшая возможная мощность множества FST равна 1, тогда как в традиционных теориях множеств мощность ${ Displaystyle {}}$ равно 0. ${ displaystyle { rm {card}} (х) = п}$ означает, что мощность множества ${ displaystyle x}$ является ${ displaystyle n}$. Например. ${ displaystyle { rm {card}} ( {y, z }) = 2}$, ${ displaystyle { rm {card}} ( {x, y, {z } }) = 3}$, ${ displaystyle { rm {card}} ( {x, {x }, { {x } } }) = 3}$, и ${ displaystyle { rm {card}} ( {x, y, z, w }) = 4}$.
  

${ displaystyle { rm {card}} (х) = 1}$ определяется как: ${ Displaystyle существует s (s in x land forall r (r in x leftrightarrow r = s)).}$

${ displaystyle { rm {card}} (х) geq n}$, куда ${ Displaystyle п geq 2}$, определяется как: ${ Displaystyle существует s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {n} (( bigwedge _ {k = 1} ^ {n} s_ {k} in x) land bigwedge _ { a = 1} ^ {n-1} bigwedge _ {b = a + 1} ^ {n} s_ {a} neq s_ {b}).}$

${ displaystyle { rm {card}} (х) = п}$, куда ${ Displaystyle п geq 2}$ определяется как: ${ displaystyle { rm {card}} (x) geq n land lnot ({ rm {card}} (x) geq n + 1).}$

• Def. Набор мощности: ${ Displaystyle forall Z (Z in y leftrightarrow z substeq x),}$ обозначается как ${ Displaystyle у = П (х)}$. Примеры: ${ Displaystyle Р ( {г }) = { {г } }}$; ${ Displaystyle P ( {г, s }) = { {r }, {s }, {r, s } }}$. Наборы мощности в FST не содержат пустого набора, и поэтому ${ displaystyle { rm {card}} (P (x)) = 2 ^ {{ rm {card}} (x)} - 1}$. В FST набор мощности не требуется в строительных наборах, тогда как, например, в теории множеств ZF аксиома мощного множества играет важную роль в построении иерархических трансфинитных множеств. В наборах мощности ZF содержится пустой набор, например как в ${ Displaystyle Р ( {у, х }) = { {}, {у }, {г }, {у, г } }}$, что делает ${ displaystyle { rm {card}} (P (x)) = 2 ^ {{ rm {card}} (x)}}$.
  

• Def. n-элемент и уровень раздела:
  

${ displaystyle r in _ {1} x}$ определяется как ${ Displaystyle г в х}$.

${ displaystyle r in _ {2} x}$ определяется как ${ Displaystyle существует у (г у в х)}$.

${ Displaystyle г в _ {п} х}$, куда ${ Displaystyle п geq 2}$, определяется как ${ Displaystyle существует у (г в _ {п-1} у в х)}$.

Который ${ displaystyle r in _ {1} x}$ можно констатировать, сказав, что ${ displaystyle r}$ существует в первый уровень раздела из ${ displaystyle x}$. Который ${ displaystyle r in _ {2} x}$ можно констатировать, сказав, что ${ displaystyle r}$ существует на втором уровне раздела ${ displaystyle x}$. И так далее. ^[5]

• Def. ${ Displaystyle [п , м]}$ Члены.
  

${ Displaystyle г в _ {[п , м]} х}$, куда ${ Displaystyle п leq m}$, определяется как: ${ displaystyle r in _ {n} x lor r in _ {n + 1} x lor r in _ {n + 2} x lor ldots lor r in _ {m} x}$.

${ displaystyle r}$ является ${ displaystyle n}$-к-${ displaystyle m}$ член ${ displaystyle x}$ когда ${ displaystyle r}$ является членом ${ displaystyle x}$ или n + 1 член ${ displaystyle x}$ или ldots или ${ displaystyle m}$-член ${ displaystyle x}$.

• Def. Набор перегородок. Набор разделов, содержащий все ${ displaystyle n}$-Члены набора определяются как:

${ displaystyle partition_ {1} (x) = x}$.

${ displaystyle partition_ {2} (x) = y}$ определяется как: ${ Displaystyle forall г (г в _ {2} х leftrightarrow г в у)}$.

${ displaystyle partition_ {n} (x) = y}$ определяется как: ${ Displaystyle forall г (г в _ {п} х leftrightarrow г в у)}$.

• Def. Переходное закрытие: ${ Displaystyle forall г (г в _ {[1 , ранг (х)]} х leftrightarrow г в у)}$, обозначенный как ${ Displaystyle у = Тс (х)}$. ${ Displaystyle у = Тс (х)}$ означает, что набор ${ displaystyle y}$ - транзитивное замыкание множества ${ displaystyle x}$. ${ displaystyle y}$ содержит все наборы и ur-элементы входного набора ${ displaystyle x}$, т.е. вся внутренняя структура ${ displaystyle x}$. Примеры:

${ displaystyle Tc ( { {a, b } }) = {a, b, {a, b } }.}$

${ displaystyle Tc ( { { {a } } }) = {a, {a }, { {a } } }.}$

${ displaystyle Tc ( {a, {a } }) = {a, {a } }.}$

Определения, включающие функциональность дискретной мереологии

Как переходные теории, Мереология и Булева алгебра не могут моделировать вложенные структуры. Поэтому разумно использовать FST или другую непереходную теорию в качестве первичной при моделировании вложенных структур. Однако также функциональность транзитивных теорий находит применение при моделировании вложенных структур. Большая часть функциональных возможностей дискретной мереологии (DM) может быть включена в FST в терминах отношений, которые имитируют отношения DM.

DM работает с бесструктурными агрегатами, такими как ${ displaystyle ab}$ который состоит из урс ${ displaystyle a, b}$, и ${ displaystyle abcd}$ который состоит из урс ${ displaystyle a, b, c, d}$. DM ${ displaystyle prevq}$ и другие отношения, определенные в терминах ${ displaystyle prevq}$ охарактеризовать отношения между агрегатами, например, в ${ displaystyle ab prevq abcd}$ и ${ displaystyle ad prevq abcd}$. Даны аксиоматизация DM и некоторые определения; некоторые определения начинаются с префикса ${ displaystyle m}$ чтобы отличить их от определений FST с такими же названиями.

• топор. протяженность ${ displaystyle x = y leftrightarrow forall w (w prevq x leftrightarrow w prevq y)}$.
• топор. рефлексивность ${ displaystyle forall x (x prevq x).}$
• топор. транзитивность: ${ Displaystyle forall Икс, Y, Z (Икс Preq Y Preq Z Rightarrow х Preq Z).}$
• деф. правильная часть: ${ Displaystyle х PreQ Y Земля Y not PreQ х,}$ обозначается как ${ Displaystyle х пре у}$.
• деф. ur-элемент: ${ Displaystyle не существует х (х пре у),}$ обозначается как ${ displaystyle ur (y)}$.
• топор. дискретность: ${ Displaystyle forall x существует y (ur (y) land y prevq x).}$
• деф. м-перекрытие: ${ Displaystyle существует Z (Z Preq Икс Земля Z Preq Y),}$ обозначается как ${ displaystyle x odot y}$.
• деф. м-дизъюнктность: ${ Displaystyle не существует Z (Z Preq х Земля Z Preq Y),}$ обозначается как ${ displaystyle x}$ Ø ${ displaystyle y}$.
• деф. м-перекресток: ${ Displaystyle forall вес ((вес предшествующий х земля ш предшествующий у) leftrightarrow ш предшествующий г),}$ обозначается как ${ displaystyle z = x otimes y}$.
• деф. м-союз: ${ Displaystyle Y Preq Z Земля х Preq Z Land forall W ((Y Preq W Land X PreQ W) Rightarrow Z Preq W),}$ обозначается как ${ displaystyle z = x oplus y}$.
• деф. m-разница: ${ Displaystyle forall вес (вес предшествующий г leftrightarrow (ш предшествующий х земля ш не предшествующий у)),}$ обозначается как ${ Displaystyle Z = х ominus y}$.

Большая часть функциональных возможностей DM может быть включена в FST путем определения отношения, аналогичного примитиву DM ${ displaystyle prevq}$ с точки зрения членства в ФСТ. Хотя идентичный символ '${ displaystyle prevq}$'используется с DM, и цель состоит в том, чтобы имитировать функциональность DM, FST ${ displaystyle prevq}$ может удерживаться только между элементами модели FST, т. е. к применяемым моделям FST ничего не добавляется. Как всегда, переменные ${ displaystyle x, y, z, w}$ обозначим FST-множества и ${ displaystyle u}$ обозначает ur-элемент.

Основная идея состоит в том, что членство и Основные отношения FST определены с точки зрения членства, являются структурными, тогда как FST ${ displaystyle prevq}$ и отношения, определенные в терминах ${ displaystyle prevq}$ находятся структурно-независимый или же структурно нейтральный. Который ${ displaystyle in}$ и ${ displaystyle subset}$ являются структурными, это означает, что они чувствительны к вложенным структурам множеств: когда известно, что ${ displaystyle u in y}$ известно, что ${ displaystyle u}$ является членом ${ displaystyle y}$ и существует на первом уровне раздела ${ displaystyle y}$, и когда известно, что ${ displaystyle x substeq y}$ известно, что все члены ${ displaystyle x}$ являются членами ${ displaystyle y}$ и существует на первом уровне раздела ${ displaystyle y}$. Напротив, когда известно, например, который ${ Displaystyle и предшествующий у}$ верно, неизвестно, на каком конкретном уровне ${ displaystyle y}$ делает ${ displaystyle u}$ существовать. ${ displaystyle prevq}$ характеризуется как структурно-нейтральный, поскольку позволяет ${ displaystyle u}$ существующий на любом уровне раздела ${ displaystyle y}$. ${ displaystyle prevq}$ применяется в разговоре о структурных наборах FST как структурно-нейтральные. Так же, как и с ${ displaystyle in}$, символы urs могут появляться только с левой стороны ${ displaystyle prevq}$. Рассмотрим определения:

• деф. твоя часть: ${ Displaystyle и в _ {[1 , ранг (у)]} у,}$ обозначается как ${ Displaystyle и предшествующий у}$.
• деф. часть: ${ Displaystyle forall и (и в _ {[1 , ранг (х)]} х rightarrow и в _ {[1 , ранг (у)]} у)}$, обозначенный как ${ Displaystyle х prevq y}$.
• деф. правильная часть: ${ Displaystyle х PreQ Y Земля Y not PreQ х,}$ обозначается как ${ Displaystyle х пре у}$.

Когда ${ Displaystyle и предшествующий у}$ держит, ${ displaystyle u}$ существует на некотором уровне множества ${ displaystyle y}$. Например, ${ Displaystyle а предшествующий {б, {а, б } }}$ держит. Когда ${ Displaystyle х prevq y}$ держит, каждый ур на любом уровне ${ displaystyle x}$ существует на каком-то уровне ${ displaystyle y}$. Например, ${ Displaystyle {а, б } prevq {б, {а, б } }}$ держит. Соответственно, ${ Displaystyle у не prevq х}$ означает, что на каком-то уровне ${ displaystyle y}$ это не на любом уровне ${ displaystyle x}$. По определению собственной части, например ${ Displaystyle {а, б } пре { {а, б }, {с, д } }}$ и ${ Displaystyle {с, д } пре { {а, б }, {с, д } }}$ держать. Учитывая любую иерархию членства, например ${ displaystyle a in x in y}$, также ${ Displaystyle а предшествующий х предшествующий у}$ держит; учитывая любой вид иерархии подмножества, такой как ${ Displaystyle х подмножество у подмножество z}$, также ${ Displaystyle х prevq y prevq z}$ держит; учитывая любой вид иерархии, которая представляет собой комбинацию отношений членства и подмножества, таких как ${ Displaystyle а в х подмножество у}$, также ${ Displaystyle а предшествующий х предшествующий у}$ держит. Обратите внимание, что ${ Displaystyle х подмножество у стрелка вправо х предшествующий у}$ держит, тогда как ${ Displaystyle х подмножество у стрелка вправо х пре у}$ не выполняется во всех моделях FST, например, в случае, когда ${ Displaystyle х = {а, Ь }}$ и ${ Displaystyle у = {а, Ь, {а } }}$. Fine (2010, с. 579) отмечает, что также цепочки отношений, такие как ${ Displaystyle г в v подмножество у пре ш}$ может быть использовано; такие цепи получили аксиоматическую основу.

Следующие переводы аксиом DM в терминологию FST показывают, что FST ${ displaystyle prevq}$ созвучно аксиомам рефлексивности, транзитивности и дискретности DM, но эта экстенсиональность DM должна быть изменена путем изменения одного из его отношений эквивалентности на импликацию. Это напоминает, что наборы FST структурны, а агрегаты DM бесструктурны.

• Расширяемость: ${ displaystyle x = y leftrightarrow forall w (w prevq x leftrightarrow w prevq y)}$. Эта аксиома неверна, поскольку ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ могут быть неидентичными наборами, даже если каждый ur на любом уровне ${ displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${ displaystyle y}$ и наоборот, например, когда ${ Displaystyle х = { {а, Ь }, {с, d } }}$ и ${ Displaystyle у = { {а, с }, {б, д } }}$. Тем не мение, ${ displaystyle x = y rightarrow forall w (w prevq x leftrightarrow w prevq y)}$ выполняется для тождества ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ подразумевает, что каждый ur, найденный на каком-то уровне ${ displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${ displaystyle y}$ наоборот.
• рефлексивность: ${ displaystyle forall x (x prevq x).}$ Каждый ur, который находится на каком-то уровне ${ displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${ displaystyle x}$.
• транзитивность: ${ Displaystyle forall Икс, Y, Z (Икс Preq Y Preq Z Rightarrow х Preq Z).}$ Если каждый ur, найденный на каком-то уровне ${ displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${ displaystyle y}$ и каждый ur, который находится на каком-то уровне ${ displaystyle y}$ находится на каком-то уровне ${ displaystyle z}$, то каждый ur, найденный на каком-то уровне ${ displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${ displaystyle z}$.
• дискретность: ${ Displaystyle forall х существует и (и предшествующий х).}$ Каждый набор содержит хотя бы один ur на каком-то уровне.

Чтобы проиллюстрировать, как FST ${ displaystyle prevq}$ может применяться как структурно-нейтральное отношение при разговоре о структурных множествах, рассмотрите перевод примеров (1-2), где применяется только мереология, в (1'-2 '), где FST ${ displaystyle prevq}$ применяется вместе с членством.

1. Ручка - это часть двери; дверь - это часть дома; но ручка не является частью дома .:
1 '. Ручка - это часть двери и член двери: ручка ${ displaystyle prevq}$ дверь; ручка ${ displaystyle in}$ дверь. Дверь - это часть дома и член дома: дверь ${ displaystyle prevq}$ жилой дом; дверь ${ displaystyle in}$ жилой дом. Ручка является частью дома, но не является его членом: ручка ${ displaystyle prevq}$ жилой дом; ручка ${ Displaystyle not in}$ жилой дом.:
${ displaystyle door = {ручка, ldots }.}$:
${ displaystyle house = {дверь, ldots } = { {ручка, ldots }, ldots }.}$

2. Взвод входит в состав роты; рота входит в состав батальона; но взвод не входит в состав батальона .:
2 '. Взвод - это часть роты и член роты; рота входит в состав батальона и входит в состав батальона; взвод входит в состав батальона, но не входит в состав батальона:

В качестве ${ displaystyle prevq}$ был определен, все отношения DM, которые определены в терминах ${ displaystyle prevq}$ могут рассматриваться как определения FST, включая m-перекрытие, m-дизъюнктность, m-пересечение, m-объединение и m-разность.

• Def. м-перекрытие: ${ Displaystyle существует г (г PreQ х земля г PreQ у),}$ обозначается как ${ displaystyle x odot y}$. По крайней мере, один ur на каком-то уровне ${ displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${ displaystyle y}$.
• Def. м-дизъюнктность: ${ Displaystyle не существует г (г предшествующий х земля г предшествующий у),}$ обозначается как ${ displaystyle x}$ Ø ${ displaystyle y}$. Нет ур на любом уровне ${ displaystyle x}$ находится на любом уровне ${ displaystyle y}$.
• Def. м-перекресток: ${ Displaystyle forall вес ((вес предшествующий х земля ш предшествующий у) leftrightarrow ш предшествующий г),}$ обозначается как ${ displaystyle z = x otimes y}$. ${ displaystyle z}$ - это набор всех urs, которые встречаются на некоторых уровнях обоих ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$.
• Def. м-союз: ${ Displaystyle Y Preq Z Земля Икс Preq Z Land forall W ((Y Preq W Land X Preq W) Rightarrow Z Preq W),}$ обозначается как ${ displaystyle z = x oplus y}$. ${ displaystyle z}$ это набор всех урс на любом уровне ${ displaystyle x}$ или же ${ displaystyle y}$ или оба.
• Def. m-разница: ${ Displaystyle forall вес (вес предшествующий г leftrightarrow (вес предшествующий х земля ш не предшествующий у)),}$ обозначается как ${ Displaystyle Z = х ominus y}$. ${ displaystyle z}$ это набор всех урс, находящихся на каком-то уровне ${ displaystyle x}$ но не на любом уровне ${ displaystyle y}$.

Что касается определений ${ displaystyle m}$-пересечение, ${ displaystyle m}$-союз и ${ displaystyle m}$-различие, в полных моделях FST все комплекты ${ displaystyle z}$ существовать. В некоторых неполных моделях FST некоторые ${ displaystyle z}$ не существует. Например, когда ${ Displaystyle {а, Ь }}$ и ${ displaystyle {b, c }}$ являются единственными множествами в прикладной модели, определение ${ displaystyle m}$-пересечение утверждает, что ${ displaystyle {a, b } otimes {b, c } = {b }}$, что делает определение аксиомой. Как указано над, определение не интерпретируется как аксиома, а только как формула, которая утверждает, что ${ displaystyle b}$ находится на каком-то уровне обоих ${ Displaystyle {а, Ь }}$ и ${ displaystyle {b, c }}$.

Примечания