Сила смертности - Force of mortality

В актуарная наука, сила смертности представляет собой мгновенный уровень смертности в определенном возрасте, измеряемом в годовом исчислении. По концепции он идентичен интенсивность отказов, также называется функция опасности, в теория надежности.

Мотивация и определение

В таблица жизни, мы считаем вероятность смерти человека от возраста Икс к Икс +1, называется q_Икс. В непрерывном случае мы могли бы также рассмотреть условная возможность лица, достигшего возраста (Икс) умирают в возрасте Икс и Икс + Δx, который

${displaystyle P_ {x} (Delta x) = P (x x) = {frac {F_ {X} (x + Delta; x) -F_ {X} (x) } {(1-F_ {X} (x))}}}$

где F_Икс(x) - это кумулятивная функция распределения непрерывного возраста смерти случайная переменная, X. Как Δx стремится к нулю, как и эта вероятность в непрерывном случае. Приблизительная сила смертности - это вероятность, деленная на Δx. Если мы позволим Δx стремятся к нулю, получаем функцию для сила смертности, обозначаемый ${displaystyle mu (x)}$:

${displaystyle mu, (x) = lim _ {Delta xightarrow 0} {frac {F_ {X} (x + Delta; x) -F_ {X} (x)} {Delta x (1-F_ {X} (x ))}} = {гидроразрыв {F '_ {X} (x)} {1-F_ {X} (x)}}}$

поскольку ж_Икс(Икс)=F '_Икс(Икс) - функция плотности вероятности Икс, и S(Икс) = 1 - F_Икс(Икс) это функция выживания, сила смертности также может быть выражена по-разному:

${displaystyle mu, (x) = {frac {f_ {X} (x)} {1-F_ {X} (x)}} = - {frac {S '(x)} {S (x)}} = - {frac {d} {dx}} ln [S (x)].}$

Чтобы концептуально понять, как сила смертности действует в популяции, примите во внимание, что возраст, Икс, где функция плотности вероятности ж_Икс(Икс) равно нулю, нет шансов умереть. Таким образом, сила смертности в этом возрасте равна нулю. Сила смертности μ(Икс) однозначно определяет функцию плотности вероятности ж_Икс(Икс).

Сила смертности ${displaystyle mu (x)}$ можно интерпретировать как условный плотность отказов в возрасте Икс, в то время как ж(Икс) это безусловный плотность отказов в возрасте Икс.^[1] Безусловная плотность неудач в возрасте Икс это произведение вероятности дожить до старости Икс, а условная плотность отказа в возрасте Икс, учитывая дожитие до возраста Икс.

Это выражается символами как

${displaystyle, mu (x) S (x) = f_ {X} (x)}$

или эквивалентно

${displaystyle mu (x) = {frac {f_ {X} (x)} {S (x)}}.}$

Во многих случаях также желательно определить функцию вероятности выживания, когда известна сила смертности. Для этого необходимо интегрировать силу смертности за интервал Икс к х + т

${displaystyle int _ {x} ^ {x + t} mu (y), dy = int _ {x} ^ {x + t} - {frac {d} {dy}} ln [S (y)], dy }$.

Посредством основная теорема исчисления, это просто

${displaystyle -int _ {x} ^ {x + t} mu (y), dy = ln [S (x + t)] - ln [S (x)].}$

Обозначим

${displaystyle S_ {x} (t) = {гидроразрыв {S (x + t)} {S (x)}},}$

затем взяв экспоненту в основание е, вероятность выживания человека в возрасте Икс по силе смертности

${displaystyle S_ {x} (t) = exp left (-int _ {x} ^ {x + t} mu (y), dy, ight).}$

Примеры

• Самый простой пример - когда сила смертности постоянна:

${displaystyle mu (y) = лямбда,}$

тогда функция выживания

${displaystyle S_ {x} (t) = e ^ {- int _ {x} ^ {x + t} lambda dy} = e ^ {- lambda t},}$

- экспоненциальное распределение.

• Когда сила смертности

${displaystyle mu (y) = {frac {y ^ {alpha -1} e ^ {- y}} {Гамма (альфа) -гамма (альфа, y)}},}$

где γ (α, y) - нижняя неполная гамма-функция, функция плотности вероятности - функция гамма-распределения

${displaystyle f (x) = {frac {x ^ {alpha -1} e ^ {- x}} {Gamma (alpha)}}.}.$

• Когда сила смертности

${displaystyle mu (y) = alpha lambda ^ {alpha} y ^ {alpha -1},}$

где α ≥ 0, имеем

${displaystyle int _ {x} ^ {x + t} mu (y) dy = альфа лямбда ^ {альфа} int _ {x} ^ {x + t} y ^ {альфа -1} dy = лямбда ^ {альфа} ((x + t) ^ {alpha} -x ^ {alpha}).}$

Таким образом, функция выживания есть

${displaystyle S_ {x} (t) = e ^ {- int _ {x} ^ {x + t} mu (y) dy} = A (x) e ^ {- (лямбда (x + t)) ^ { альфа}},}$

где ${displaystyle A (x) = e ^ {(лямбда x) ^ {альфа}}.}$ Это функция выживания для Распределение Вейбулла. Для α = 1 это то же самое, что и экспоненциальное распределение.

• Другой известный пример - когда модель выживания следует Закон смертности Гомперца-Мейкхема.^[2] В этом случае сила смертности равна

${displaystyle mu (y) = A + Bc ^ {y} quad {ext {for}} ygeqslant 0.}$

Используя последнюю формулу, имеем

${displaystyle int _ {x} ^ {x + t} (A + Bc ^ {y}) dy = At ​​+ B (c ^ {x + t} -c ^ {x}) / ln [c].}$

потом

${displaystyle S_ {x} (t) = e ^ {- (At + B (c ^ {x + t} -c ^ {x}) / ln [c])} = e ^ {- At} g ^ { c ^ {x} (c ^ {t} -1)}}$

где ${displaystyle g = e ^ {- B / ln [c]}.}$

Смотрите также

• Интенсивность отказов
• Функция опасности
• Актуарная приведенная стоимость
• Актуарная наука
• Теория надежности
• Продолжительность жизни

использованная литература