Формальная схема - Википедия - Formal scheme

В математика особенно в алгебраическая геометрия, а формальная схема это тип пространства, которое включает данные о его окружении. В отличие от обычного схема, формальная схема включает бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают в сторону от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких темах, как теория деформации. Но это понятие также используется для доказательства такой теоремы, как теорема о формальных функциях, который используется для вывода интересующих теорем для обычных схем.

Локально нётерова схема - это локально нётерова формальная схема каноническим образом: формальное завершение по самой себе. Другими словами, категория локально нётеровых формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.

Формальные схемы были мотивированы теорией Зарисского и обобщают ее. формальные голоморфные функции.

Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальная алгебраическая геометрия.

Определение

Формальные схемы обычно определяются только в Нётерян дело. Хотя существует несколько определений нётеровых формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нётеровы формальные схемы.

Предполагается, что все кольца коммутативный и с единица измерения. Позволять А быть (нетерианцем) топологическое кольцо, то есть кольцо А который является топологическое пространство такие, что операции сложения и умножения непрерывны. А является линейно топологизированный если ноль имеет основание состоящий из идеалы. An идеал определения ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ для линейно топологизированного кольца - такой открытый идеал, что для любой открытой окрестности V 0 существует натуральное число п такой, что ${ Displaystyle { mathcal {J}} ^ {п} substeq V}$ . Линейно топологизированное кольцо - это допустимый если он допускает идеал определения, и это допустимый если это также полный. (В терминологии Бурбаки, это «полный и отдельный».)

Предположить, что А допустимо, и пусть ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ быть идеалом определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ . Множество открытых простых идеалов А, или, что то же самое, множество простых идеалов ${ Displaystyle A / { mathcal {J}}}$ , является основным топологическим пространством формальный спектр из А, обозначаемый Spf А. Spf А имеет структурный пучок, который определяется с помощью структурного пучка спектр кольца. Позволять ${ displaystyle { mathcal {J}} _ { lambda}}$ - базис окрестностей нуля, состоящий из идеалов определения. Все спектры ${ displaystyle A / { mathcal {J}} _ { lambda}}$ имеют то же основное топологическое пространство, но другой структурный пучок. Структурный пучок Spf А это проективный предел ${ displaystyle varprojlim _ { lambda} { mathcal {O}} _ {{ text {Spec}} A / { mathcal {J}} _ { lambda}}}$ .

Можно показать, что если ж ∈ А и D_ж - это множество всех открытых простых идеалов А не содержащий ж, тогда ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {{ text {Spf}} A} (D_ {f}) = { widehat {A_ {f}}}}$ , куда ${ displaystyle { widehat {A_ {f}}}}$ завершение локализация А_ж.

Наконец, локально нетерова формальная схема топологически окольцованное пространство ${ displaystyle ({ mathfrak {X}}, { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}})}$ (это окольцованное пространство пучок колец которого является пучком топологических колец) таких, что каждая точка ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ допускает открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерова кольца.

Морфизмы между формальными схемами

Морфизм ${ displaystyle f: { mathfrak {X}} to { mathfrak {Y}}}$ локально нётеровых формальных схем является их морфизмом в виде локально окольцованных пространств, для которых индуцированное отображение ${ displaystyle f ^ { #}: Gamma (U, { mathcal {O}} _ { mathfrak {Y}}) to Gamma (f ^ {- 1} (U), { mathcal { O}} _ { mathfrak {X}})}$ является непрерывным гомоморфизмом топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U.

ж как говорят адик или же ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ это ${ displaystyle { mathfrak {Y}}}$ -адическая формальная схема если существует идеал определения ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ такой, что ${ displaystyle f ^ {*} ({ mathcal {I}}) { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}}}$ идеал определения для ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ . Если ж адический, то это свойство выполняется для любого идеала определения.

Примеры

Для любого идеала я и кольцо А мы можем определить I-адическая топология на А, определяемый своим базисом, состоящим из множеств вида а + я^п. Это допустимо и допустимо, если А является я-адически полный. В этом случае Spf A топологическое пространство Spec A / I со связкой колец ${ displaystyle { text {lim}} _ {n} { mathcal {O}} _ {{ text {Spec}} A / I ^ {n}} = lim _ {n} { widetilde {A / I ^ {n}}}}$ вместо ${ displaystyle { widetilde {A / I}}}$ .

A = k [[t]] и I = (t). потом A / I = k так что пространство Spf A единственная точка (т) на котором его структурный пучок принимает значение k [[t]]. Сравните это с Spec A / I, структурный пучок которого принимает значение k на данный момент: это пример идеи, что Spf A это «формальное сгущение» А о я.
Формальное завершение закрытой подсхемы. Рассмотрим замкнутую подсхему Икс аффинной плоскости над k, определяемый идеалом I = (y²-Икс³). Обратите внимание, что А₀= k [x, y] не является я-адически полная; записывать А для своего я-адическое завершение. В этом случае, Spf A = X как пространства и его структурный пучок ${ Displaystyle lim _ {п} { widetilde {k [x, y] / I ^ {n}}}}$ . Его глобальные разделы А, в отличие от Икс чьи глобальные разделы A / I.

Смотрите также

внешняя ссылка

формальное завершение