Теорема Фрейдлина – Вентцелля. - Freidlin–Wentzell theorem

В математика, то Теорема Фрейдлина – Вентцелля. это результат теория больших отклонений из случайные процессы. Грубо говоря, теорема Фрейдлина – Вентцелля дает оценку вероятности того, что (в уменьшенном масштабе) выборочный путь It распространение отклонится далеко от среднего пути. Это заявление уточняется с помощью функции оценки. Теорема Фрейдлина – Вентцелля обобщает Теорема шильдера для стандартных Броуновское движение.

Заявление

Позволять B быть стандартным броуновским движением на р^d начиная с начала координат, 0 ∈р^d, и разреши Икс^ε быть р^d-значная диффузия Itō, решающая Itō стохастическое дифференциальное уравнение формы

{displaystyle {egin {cases} dX_ {t} ^ {varepsilon} = b (X_ {t} ^ {varepsilon}), dt + {sqrt {varepsilon}}, dB_ {t}, X_ {0} ^ {varepsilon} = 0, конец {case}}}

где дрейф векторное поле б : р^d → р^d является равномерно липшицево. Затем на Банахово пространство C₀ = C₀([0, Т]; р^d) оснащены верхняя норма ||·||_∞, семейство процессов (Икс^ε)_ε>0 удовлетворяет принципу больших уклонений с хорошей функцией скорости я : C₀ → р ∪ {+ ∞}, задаваемое формулой

{displaystyle I (omega) = {frac {1} {2}} int _ {0} ^ {T} | {dot {omega}} _ {t} -b (omega _ {t}) | ^ {2} , dt}

если ω лежит в Соболевское пространство ЧАС¹([0, Т]; р^d), и я(ω) = + ∞ в противном случае. Другими словами, для каждого открытый набор грамм ⊆ C₀ и каждый закрытый набор F ⊆ C₀,

{displaystyle limsup _ {varepsilon downarrow 0} {ig (} varepsilon log mathbf {P} {ig [} X ^ {varepsilon} in F {ig]} {ig)} leq -inf _ {omega in F} I (omega )}

и

{displaystyle liminf _ {varepsilon downarrow 0} {ig (} varepsilon log mathbf {P} {ig [} X ^ {varepsilon} in G {ig]} {ig)} geq -inf _ {omega in G} I (omega ).}

Теорема Фрейдлина – Вентцелля. - Freidlin–Wentzell theorem

Заявление

Рекомендации