Условия Фрица Джона - Fritz John conditions

В Условия Фрица Джона (сокр. Условия FJ), в математика, площадь необходимое условие для решения в нелинейное программирование быть оптимальный.^[1] Они используются как лемма при доказательстве Условия Каруша – Куна – Таккера., но они актуальны сами по себе.

Мы рассматриваем следующие проблема оптимизации:

${ displaystyle { begin {align} { text {minim}} & f (x) , { text {subject to:}} & g_ {i} (x) leq 0, i in left {1, dots, m right } & h_ {j} (x) = 0, j in left {m + 1, dots, n right } end {выровнено}} }$

куда ƒ это функция быть минимизированным, ${ displaystyle g_ {i}}$ неравенство ограничения и ${ displaystyle h_ {j}}$ ограничения равенства, и где, соответственно, ${ displaystyle { mathcal {I}}}$, ${ displaystyle { mathcal {I '}}}$ и ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ являются индексы наборы неактивных, активных и ограничений равенства и ${ displaystyle x ^ {*}}$ оптимальное решение ${ displaystyle f}$, то существует ненулевой вектор ${ displaystyle lambda = [ lambda _ {0}, lambda _ {1}, lambda _ {2}, dots, lambda _ {n}]}$ такой, что:

${ displaystyle { begin {cases} lambda _ {0} nabla f (x ^ {*}) + sum limits _ {i in { mathcal {I}} '} lambda _ {i} nabla g_ {i} (x ^ {*}) + sum limits _ {i in { mathcal {E}}} lambda _ {i} nabla h_ {i} (x ^ {*}) = 0 [10pt] lambda _ {i} geq 0, i in { mathcal {I}} ' cup {0 } [10pt] существует i in left ( {0,1, ldots, n } backslash { mathcal {I}} right) left ( lambda _ {i} neq 0 right) end {cases}}}$

${ displaystyle lambda _ {0}> 0}$ если то ${ Displaystyle набла г_ {я} (я в { mathcal {I}} ')}$ и ${ displaystyle nabla h_ {i} (я in { mathcal {E}})}$ находятся линейно независимый или, в более общем смысле, когда ограничение квалификации держит.

Названный в честь Фриц Джон, эти условия эквивалентны Условия Каруша – Куна – Таккера. в случае ${ displaystyle lambda _ {0}> 0}$. Когда ${ displaystyle lambda _ {0} = 0}$, условие эквивалентно нарушению Квалификация ограничения Мангасаряна – Фромовица (MFCQ). Другими словами, условие Фрица Джона эквивалентно условию оптимальности KKT или не-MFCQ.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Рау, Николай (1981). «Множители Лагранжа». Матрицы и математическое программирование. Лондон: Макмиллан. С. 156–174. ISBN  0-333-27768-6.