Функционально-дифференциальное уравнение - Functional differential equation

А функционально-дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом. То есть функционально-дифференциальное уравнение - это уравнение, которое содержит некоторую функцию и некоторые ее производные с различными значениями аргумента.^[1]

Функционально-дифференциальные уравнения находят применение в математических моделях, которые предполагают, что определенное поведение или явление зависит от настоящего, а также от прошлого состояния системы.^[2] Другими словами, прошлые события явно влияют на будущие результаты. По этой причине во многих приложениях используются функционально-дифференциальные уравнения, а не обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), в котором будущее поведение только неявно зависит от прошлого.

Определение

В отличие от обычных дифференциальных уравнений, которые содержат функцию одной переменной и ее производные, вычисляемые с одним и тем же входом, функционально-дифференциальные уравнения содержат функцию и ее производные, оцениваемые с разными входными значениями.

Примером обыкновенного дифференциального уравнения может быть ${ Displaystyle F '(х) = 2f (х) +1}$
Для сравнения, функционально-дифференциальное уравнение было бы ${ displaystyle f '(x) = 2f (x + 3) - [f (x-1)] ^ {2}}$

Простейший тип функционально-дифференциального уравнения, называемый запаздывающее функционально-дифференциальное уравнение или запаздывающее дифференциально-разностное уравнение, имеет вид^[3]

{ Displaystyle х '(т) = е { biggl (} т, х (т), х (т-р) { biggr)}}

Примеры

Простейшим фундаментальным функционально-дифференциальным уравнением является линейное дифференциальное уравнение первого порядка с запаздыванием.^[4] который дается

{ Displaystyle х '(т) = альфа _ {1} (т) х (т) + альфа _ {2} х (т- тау) + е (т), т geq 0}

где ${ displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2}, tau}$ константы, ${ displaystyle f (t)}$ - некоторая непрерывная функция, а ${ displaystyle x}$ является скаляром. Ниже представлена таблица со сравнением нескольких обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнений.

	Обыкновенное дифференциальное уравнение	Функционально-дифференциальное уравнение
Примеры	${ Displaystyle F '(х) = х ^ {2} -3}$	${ displaystyle f '(x) = 3x-f (x-4)}$
	${ displaystyle f '(x) = f (x) -8}$	${ displaystyle x '(t) = 3x (2t) - { biggl [} x (t-1) { biggr]} ^ {2}}$
	${ Displaystyle F { biggl (} т, х (т), х '(т), х' '(т) { biggr)} = 0}$	${ Displaystyle 2x (3t + 1) -5x (4t) = 1}$
	${ displaystyle f '(x) = 4f (x) -3x}$

Типы функционально-дифференциальных уравнений

«Функциональное дифференциальное уравнение» - это общее название ряда более конкретных типов дифференциальных уравнений, которые используются во многих приложениях. Существуют дифференциальные уравнения с запаздыванием, интегро-дифференциальные уравнения и т. Д.

Дифференциально-разностное уравнение

Дифференциально-разностные уравнения - это функционально-дифференциальные уравнения, в которых значения аргументов дискретны.^[1] Общая форма функционально-дифференциальных уравнений конечного числа дискретных отклоняющихся аргументов имеет вид

{ Displaystyle х ^ {(п)} (т) = е { Biggl (} т, х ^ {(п_ {1})} { biggl (} т- тау _ {1} (т) { biggr)}, x ^ {(n_ {2})} { biggl (} t- tau _ {2} (t) { biggr)}, ldots, x ^ {(n_ {k})} { biggl (} t- tau _ {k} (t) { biggr)} { Biggr)}}

где ${ Displaystyle х (т) in mathbb {R} ^ {m}, , n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {i} geq 0,}$ и ${ Displaystyle тау _ {1} (т), тау _ {2} (т), ldots, тау _ {я} (т) geq 0}$

Дифференциально-разностные уравнения также называют отсталый, нейтральный, продвинутый, и смешанный функционально-дифференциальные уравнения. Эта классификация зависит от того, зависит ли скорость изменения текущего состояния системы от прошлых значений, будущих значений или того и другого.^[5]

Классификации дифференциально-разностных уравнений^[6]
Отсталый	${ Displaystyle х '(т) = е { biggl (} т, х (т), х (т- тау) { biggr)}}$
Нейтральный	${ Displaystyle х '(т) = е { biggl (} т, х (т), х (т- тау), х' (т- тау) { biggr)}}$
Продвинутый	${ Displaystyle х '(т- тау) = е { biggl (} т, х (т), х (т- тау) { biggr)}}$

Дифференциальное уравнение задержки

Функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа возникают при ${ Displaystyle макс {п_ {1}, п_ {2}, ldots, п_ {к} } <п}$ для уравнения, приведенного выше. Другими словами, этот класс функционально-дифференциальных уравнений зависит от прошлого и настоящего значений функции с запаздыванием.

Простым примером запаздывающего функционально-дифференциального уравнения является

{ Displaystyle х '(т) = - х (т- тау)}

тогда как более общая форма для дискретных отклоняющихся аргументов может быть записана как

{ Displaystyle х '(т) = е { Biggl (} т, х { biggl (} т- тау _ {1} (т) { biggr)}, х { biggl (} т- тау _ {2} (t) { biggr)}, ldots, x { biggl (} t- tau _ {k} (t) { biggr)} { Biggr)}.}.

Нейтральные дифференциальные уравнения

Функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа или нейтральные дифференциальные уравнения возникают, когда

{ displaystyle max {n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {k} } = n.}

Нейтральные дифференциальные уравнения зависят от прошлых и настоящих значений функции, аналогично запаздывающим дифференциальным уравнениям, за исключением того, что они также зависят от производных с запаздыванием. Другими словами, дифференциальные уравнения с запаздыванием не включают производную заданной функции с запаздыванием, в отличие от нейтральных дифференциальных уравнений.

Интегро-дифференциальное уравнение

Интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра представляют собой функционально-дифференциальные уравнения с непрерывными значениями аргументов.^[1] Интегро-дифференциальные уравнения включают как интегралы, так и производные некоторой функции по аргументу.

Непрерывное интегро-дифференциальное уравнение для запаздывающих функционально-дифференциальных уравнений, ${ Displaystyle х '(т) = е { biggl (} т, х (т- тау _ {1} (т)), х (т- тау _ {2} (т)), ldots, х (т- тау _ {к} (т)) { biggr)}}$ , можно записать как

{ Displaystyle х '(т) = е { Biggl (} т, int _ {т- тау (т)} ^ {т} К (т, тета, х ( тета)) , mathrm {d} theta { Biggr)}, quad tau (t) geq 0}

заявка

Функционально-дифференциальные уравнения использовались в моделях, которые определяют будущее поведение определенного явления, определяемого настоящим и прошлым. Будущее поведение явлений, описываемое решениями ОДУ, предполагает, что поведение не зависит от прошлого.^[2] Однако может быть много ситуаций, которые зависят от поведения в прошлом.

FDE применимы для моделей во многих областях, таких как медицина, механика, биология и экономика. FDE использовались в исследованиях теплопередачи, обработки сигналов, эволюции видов, транспортных потоков и изучения эпидемий.^[1]^[4]

Рост населения с запаздыванием

А логистическое уравнение за рост населения дан кем-то

${ displaystyle { mathrm {d} x over mathrm {d} t} = rho , x (t) left (1 - { frac {x (t)} {k}} right), }$

где ρ скорость воспроизводства и k это грузоподъемность.

{ Displaystyle х (т)}

представляет размер популяции во время т, и

{ Displaystyle rho { Biggl (} 1 - { frac {x (t)} {k}} { Biggr)}}

- зависящая от плотности скорость воспроизведения.^[7]

Если бы мы сейчас применили это к более раннему времени

{ Displaystyle т- тау}

, мы получаем

${ displaystyle { mathrm {d} x over mathrm {d} t} = rho , x (t) left (1 - { frac {x (t- tau)} {k}} верно)}$

Модель смешивания

После применения обыкновенных дифференциальных уравнений многие сталкиваются с моделью смешения какого-либо химического раствора.

Предположим, есть емкость с литрами соленой воды. Соленая вода поступает в контейнер и выходит из него с одинаковой скоростью.

{ displaystyle r}

литров в секунду. Другими словами, скорость втекающей воды равна скорости вытекания раствора соленой воды. Позволять

{ displaystyle V}

количество в литрах соленой воды в емкости и

{ Displaystyle х (т)}

быть однородной концентрацией в граммах на литр соленой воды за раз

{ displaystyle t}

. Тогда имеем дифференциальное уравнение^[8]

${ displaystyle x '(t) = - { frac {r} {V}} x (t), { frac {r} {V}}> 0}$

Проблема с этим уравнением заключается в том, что оно предполагает, что каждая капля воды, попадающая в контейнер, мгновенно смешивается с раствором. Этого можно избежать, используя FDE вместо ODE.

Позволять

{ Displaystyle х (т)}

быть средней концентрацией за время

{ displaystyle t}

, а не униформа. Затем предположим, что раствор покидает контейнер во время

{ displaystyle t}

равно

{ Displaystyle х (т- тау), тау> 0}

, средняя концентрация в более раннее время. Тогда уравнение представляет собой дифференциальное уравнение с запаздыванием вида^[8]

${ displaystyle x '(t) = - { frac {r} {V}} x (t- tau)}$

Модель хищник-жертва Вольтерры

Модель «хищник-жертва» Лотки – Вольтерры была первоначально разработана для наблюдения за популяциями акул и рыб в Адриатическом море; однако эта модель использовалась во многих других областях для различных целей, например, для описания химических реакций. Моделирование популяции «хищник-жертва» всегда широко изучалось, и в результате существовало много различных форм исходного уравнения.

Один из примеров, как показано Xu, Wu (2013),^[9] модели Лотки – Вольтерры с запаздыванием приведено ниже:

${ displaystyle p '(t) = p (t) { Biggl [} r_ {1} (t) -a_ {11} (t) p { biggl (} t- tau _ {11} (t) { biggr)} - a_ {12} (t) P_ {1} { biggl (} t- tau _ {12} (t) { biggr)} - a_ {13} (t) P_ {2} { biggl (} t- tau _ {13} (t) { biggr)} { Biggr]}}$

${ Displaystyle P_ {1} '(t) = P_ {1} (t) { Biggl [} -r_ {2} (t) + a_ {21} (t) p { biggl (} t- tau _ {21} (t) { biggr)} - a_ {22} (t) P_ {1} { biggl (} t- tau _ {22} (t) { biggr)} - a_ {23} (t) P_ {2} { biggl (} t- tau _ {23} (t) { biggr)} { Biggr]}}$

${ Displaystyle P_ {2} '(t) = P_ {2} (t) { Biggl [} -r_ {2} (t) + a_ {31} (t) p { biggl (} t- tau _ {31} (t) { biggr)} - a_ {32} (t) P_ {1} { biggl (} t- tau _ {32} (t) { biggr)} - a_ {33} (t) P_ {2} { biggl (} t- tau _ {33} (t) { biggr)} { Biggr]}}$

где

{ displaystyle p (t)}

обозначает плотность популяции жертвы в момент времени t,

{ Displaystyle P_ {1} (т)}

и

{ Displaystyle P_ {2} (т)}

обозначают плотность популяции хищников во время

{ displaystyle t, r_ {i}, a_ {ij} in C ( mathbb {R}, [0, infty))}

и

{ Displaystyle тау _ {ij} в С ( mathbb {R}, mathbb {R})}

Обратите внимание, что в этой модели используется линейный уравнения в частных производных.

Другие модели, использующие FDE

Примеры других моделей, в которых использовались FDE, а именно RFDE, приведены ниже:

Управляемое движение твердого тела^[1]
Периодические движения^[8]
Схема триггера как NDE^[8]
Модель эпидемии ВИЧ
Математические модели количества сахара в крови^[1]
Уравнения эволюции отдельных видов^[1]
Распространение инфекции между двумя видами^[8]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Herdman, Terry L .; Ранкин III, Самуэль М .; Стеч, Харлан В. (1981). Интегральные и функционально-дифференциальные уравнения: Конспект. 67. США: Marcel Dekker Inc, Чистая и прикладная математика
Форд, Невилл Дж .; Люмб, Патрисия М. (2009). «Функционально-дифференциальные уравнения смешанного типа: численный подход». Журнал вычислительной и прикладной математики. 229 (2): 471–479
Лимон, Грег; Кинф, Джон Р. (2012). : Модель функционально-дифференциального уравнения для сортировки биологических клеток за счет дифференциальной адгезии ». Математические модели и методы в прикладных науках. 12(1): 93–126
Да Силва, Кармен, Эскаланте, Рене (2011). "Сегментированное Тау-приближение для прямого и обратного функционально-дифференциального уравнения". Компьютеры и математика с приложениями. 62 (12): 4582–4591
Pravica, D. W .; Randriampiry, N ,; Спурр, М. Дж. (2009). «Приложения расширенного дифференциального уравнения в изучении всплесков». Прикладной и вычислительный гармонический анализ. 27 (1): 2(10)
Бреда, Дмитрий; Мазет, Стефано; Вермиглио Россана (2015). Устойчивость линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием: численный подход с MATLAB. Springer. ISBN 978-1-4939-2106-5

[:0-1] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Колмановский, В .; Мышкис, А. (1992). Прикладная теория функционально-дифференциальных уравнений. Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1.

[:3-2] а ^б Хейл, Джек К. (1971). Функционально-дифференциальные уравнения. США: Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90023-3.

[:1-3] Хейл, Джек К .; Verduyn Lunel, Sjoerd M. (1993). Введение в функционально-дифференциальные уравнения. США: Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94076-6.

[:4-4] а ^б Фалбо, Клемент Э. «Некоторые элементарные методы решения функционально-дифференциальных уравнений» (PDF). Государственный университет Сомоны.

[:5-5] Guo, S .; Ву, Дж. (2013). Бифуркационная теория функционально-дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: Спрингер. С. 41–60. ISBN 978-1-4614-6991-9.

[6] Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press. стр.42 –49. ISBN 978-0124109735.

[7] Barnes, B .; Фулфорд, Г. Р. (2015). Математическое моделирование с тематическими исследованиями. ООО «Тейлор и Фрэнсис Групп». С. 75–77. ISBN 978-1-4822-4772-5.

[:2-8] а ^б ^c ^d ^е Шмитт, Клаус, изд. (1972). Уравнения с запаздыванием и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. США: Academic Press.

[9] Сюй, Чанцзинь; Ву, Юсен (2013). «Динамика в модели Лотки – Вольтерры Хищник – Жертва с изменяющимися во времени задержками». Аннотация и прикладной анализ. 2013: 1–9. Дои:10.1155/2013/956703.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]